Seja o seguinte sistema linear:
0.0001*x1 + 1.00*x2 = 1.00, 1.00*x1 + 1.00*x2 = 2.00
Simule uma máquina que opera com 3 dígitos na mantissa com arredondamento e resolva o sistema usando:
(a) O Método de Gauss sem Pivotamento.
(b) O Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
© Sabendo que a solução do sistema é aproximadamente
x* = (1.0001) / (0.9999)
comente os resultados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com duas incógnitas ( e ). A gente precisa resolver esse sistema usando o Método de Gauss, simulando uma máquina que trabalha com 3 dígitos na mantissa e arredondamento. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotamento e com pivotamento parcial. Além disso, vamos comparar os resultados com a solução aproximada fornecida.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o sistema usando o Método de Gauss sem Pivotamento.
O sistema dado é:
Passo 2.1: Escolhemos a primeira equação para eliminar da segunda equação.
Multiplicamos a primeira equação por para tornar o coeficiente de igual a 1:
Arredondando para 3 dígitos na mantissa:
Passo 2.2: Subtraímos a segunda equação original da equação modificada para eliminar :
Arredondando:
Passo 2.3: Resolvemos para :
Passo 2.4: Substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema usando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
Passo 3.1: Identificamos o maior coeficiente em módulo na coluna do para escolher o pivô. Entre e , o maior é na segunda equação. Então, trocamos as equações para ter o pivô na primeira posição:
Passo 3.2: Eliminamos da segunda equação multiplicando a primeira equação por e subtraindo da segunda:
Subtraindo da segunda equação:
Arredondando:
Passo 3.3: Resolvemos para :
Passo 3.4: Substituímos na primeira equação para encontrar :

Passo 4

Vamos comentar os resultados obtidos.
No Método de Gauss sem Pivotamento, a solução encontrada foi e , que claramente não coincide com a solução aproximada fornecida de . Isso ocorreu devido ao arredondamento significativo na eliminação, especialmente na remoção do na primeira etapa, que praticamente anulou o valor de .
Já no Método de Gauss com Pivotamento Parcial, conseguimos encontrar uma solução mais precisa: e . Ainda que haja uma pequena diferença devido ao arredondamento, essa abordagem preserva melhor os valores das incógnitas, evitando a perda de precisão que ocorreu sem o pivotamento.

Resposta

Utilizando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial, a solução encontrada é e , que está mais próxima da solução exata , demonstrando a importância do pivotamento para aumentar a precisão nos cálculos com limitação na mantissa.

Exercícios relacionados