Seja o seguinte sistema linear:
Simule uma máquina que opera com 3 dígitos na mantissa com arredondamento e resolva o sistema usando:
(a) O Método de Gauss sem Pivotamento.
(b) O Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
© Sabendo que a solução do sistema é aproximadamente
comente os resultados.
(a) O Método de Gauss sem Pivotamento.
(b) O Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
© Sabendo que a solução do sistema é aproximadamente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de equações lineares com duas incógnitas (
e
). A gente precisa resolver esse sistema usando o Método de Gauss, simulando uma máquina que trabalha com 3 dígitos na mantissa e arredondamento. Vamos fazer isso de duas maneiras: sem pivotamento e com pivotamento parcial. Além disso, vamos comparar os resultados com a solução aproximada fornecida.
Passo 2
Vamos começar resolvendo o sistema usando o Método de Gauss sem Pivotamento.
O sistema dado é:
Passo 2.1: Escolhemos a primeira equação para eliminar
da segunda equação.
Multiplicamos a primeira equação por
para tornar o coeficiente de
igual a 1:
Arredondando para 3 dígitos na mantissa:
Passo 2.2: Subtraímos a segunda equação original da equação modificada para eliminar
:
Arredondando:
Passo 2.3: Resolvemos para
:
Passo 2.4: Substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema usando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial.
Passo 3.1: Identificamos o maior coeficiente em módulo na coluna do
para escolher o pivô. Entre
e
, o maior é
na segunda equação. Então, trocamos as equações para ter o pivô na primeira posição:
Passo 3.2: Eliminamos
da segunda equação multiplicando a primeira equação por
e subtraindo da segunda:
Subtraindo da segunda equação:
Arredondando:
Passo 3.3: Resolvemos para
:
Passo 3.4: Substituímos
na primeira equação para encontrar
:
Passo 4
Vamos comentar os resultados obtidos.
No Método de Gauss sem Pivotamento, a solução encontrada foi
e
, que claramente não coincide com a solução aproximada fornecida de
. Isso ocorreu devido ao arredondamento significativo na eliminação, especialmente na remoção do
na primeira etapa, que praticamente anulou o valor de
.
Já no Método de Gauss com Pivotamento Parcial, conseguimos encontrar uma solução mais precisa:
e
. Ainda que haja uma pequena diferença devido ao arredondamento, essa abordagem preserva melhor os valores das incógnitas, evitando a perda de precisão que ocorreu sem o pivotamento.
Resposta
Utilizando o Método de Gauss com Pivotamento Parcial, a solução encontrada é
e
, que está mais próxima da solução exata
, demonstrando a importância do pivotamento para aumentar a precisão nos cálculos com limitação na mantissa.