Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a função
está bem definida no espaço
, de modo que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente tem um espaço vetorial
de dimensão
e uma função definida por:
O objetivo é encontrar os valores de
para que essa função esteja bem definida no espaço
e que o limite dessa função quando
vai para o infinito seja infinito também:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e analisar o comportamento da função para diferentes valores de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. A função dentro da integral é:
Podemos reescrever isso como:
Então, a função
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é:
Aplicando isso à nossa função:
Como a segunda parte é zero, simplificamos para:
Passo 4
Queremos que o limite de
quando
vai para o infinito seja infinito. Isso depende do expoente de
:
Resolvendo a inequação:
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja:
Passo 5
Também é importante verificar se a integral está bem definida no intervalo de integração, especialmente perto de
. Para isso, o expoente:
Resolvendo:
Essa condição já foi satisfeita no passo anterior.
Resposta
Os valores de
que satisfazem as condições são todos os números positivos menores que
. Ou seja,
Exercícios relacionados
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirja.
Calcule as integrais:
.
Calcule a integral
.
Considere a constante
como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de
definido por
Observação: O valor de
não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.