Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os valores de p>0 para que a função
fp(t)=integral0^t s^1ps^1+1N d s, t>0
está bem definida no espaço X, de modo que
lim t +infty fp(t)=+infty

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente tem um espaço vetorial fp(t) = integral0^t s^1ps^1+1N , ds, t > 0 de dimensão limt +infty fp(t) = +infty e uma função definida por:
O objetivo é encontrar os valores de para que essa função esteja bem definida no espaço e que o limite dessa função quando vai para o infinito seja infinito também:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e analisar o comportamento da função para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. A função dentro da integral é:
s^1ps^1+1N
Podemos reescrever isso como:
s^1p - (1 + 1N) = s^1p - 1 - 1N
Então, a função fp(t) = integral0^t s^1p - 1 - 1N , ds fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de integral s^alpha , ds = s^alpha + 1alpha + 1 + C, desde que alpha neq -1 em relação a fp(t) = t^1p - 1N1p - 1N - 0^1p - 1N1p - 1N é:
fp(t) = t^1p - 1N1p - 1N
Aplicando isso à nossa função:
Como a segunda parte é zero, simplificamos para:

Passo 4

Queremos que o limite de 1p - 1N > 0 quando 1p > 1N Rightarrow p < N vai para o infinito seja infinito. Isso depende do expoente de 1p - 1N neq 0 Rightarrow p neq N :
Resolvendo a inequação:
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja:

Passo 5

Também é importante verificar se a integral está bem definida no intervalo de integração, especialmente perto de 1p - 1 - 1N > -1 . Para isso, o expoente:
1p - 1N > 0 Rightarrow p < N
Resolvendo:
Essa condição já foi satisfeita no passo anterior.

Resposta

Os valores de 0 < p < N que satisfazem as condições são todos os números positivos menores que . Ou seja,

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