Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a função
está bem definida no espaço , de modo que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe. A gente tem um espaço vetorial de dimensão e uma função definida por:
O objetivo é encontrar os valores de para que essa função esteja bem definida no espaço e que o limite dessa função quando vai para o infinito seja infinito também:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral e analisar o comportamento da função para diferentes valores de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral para facilitar o cálculo. A função dentro da integral é:
Podemos reescrever isso como:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é:
Aplicando isso à nossa função:
Como a segunda parte é zero, simplificamos para:

Passo 4

Queremos que o limite de quando vai para o infinito seja infinito. Isso depende do expoente de :
Resolvendo a inequação:
Além disso, precisamos garantir que o denominador não seja zero, ou seja:

Passo 5

Também é importante verificar se a integral está bem definida no intervalo de integração, especialmente perto de . Para isso, o expoente:
Resolvendo:
Essa condição já foi satisfeita no passo anterior.

Resposta

Os valores de que satisfazem as condições são todos os números positivos menores que . Ou seja,

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Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirja.
Calcule as integrais: .
Calcule a integral .
Considere a constante como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de definido por
Observação: O valor de não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.