Calcule a integral .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função quebrada com um radical no denominador:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral envolvendo substituição. Precisaremos conhecer as regras básicas de integração e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão no numerador:
Isso nos ajuda a ver que o numerador é proporcional à derivada de , que está dentro do radical no denominador.

Passo 3

Definimos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Perceba que aparece no numerador da nossa integral original.

Passo 4

Rearranjamos a derivada para expressar em termos de :
Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral está bem mais simples:
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Calculando cada termo:

Resposta

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Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a função
está bem definida no espaço , de modo que
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirja.
Considere a constante como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de definido por
Observação: O valor de não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.
Calcule a integral .