Calcule a integral
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função quebrada com um radical no denominador:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral envolvendo substituição. Precisaremos conhecer as regras básicas de integração e como manipular expressões algébricas.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão no numerador:
Isso nos ajuda a ver que o numerador é proporcional à derivada de
, que está dentro do radical no denominador.
Passo 3
Definimos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Perceba que
aparece no numerador da nossa integral original.
Passo 4
Rearranjamos a derivada para expressar
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, a integral está bem mais simples:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando cada termo:
Resposta
Exercícios relacionados
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a função
está bem definida no espaço
, de modo que
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirja.
Considere a constante
como sendo um valor conhecido. Usando integração por partes, calcule o valor de
definido por
Observação: O valor de
não precisa ser calculado posto que essa integral não é simples.
Calcule a integral
.