Calcule a integral integral-1^0 4 x-14raizx^2-7 x+1 d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral definida de uma função quebrada com um radical no denominador:
integral-1^0 4x - 14raizx^2 - 7x + 1 , dx
Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral envolvendo substituição. Precisaremos conhecer as regras básicas de integração e como manipular expressões algébricas.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão no numerador:
4x - 14 = 2(2x - 7)
Isso nos ajuda a ver que o numerador é proporcional à derivada de , que está dentro do radical no denominador.

Passo 3

Definimos uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x^2 - 7x + 1
Agora, calculamos a derivada de dudx = 2x - 7 em relação a :
Perceba que aparece no numerador da nossa integral original.

Passo 4

Rearranjamos a derivada para expressar du = (2x - 7) , dx Rightarrow dx = du2x - 7 em termos de integral 2(2x - 7)raizu cdot du2x - 7 = 2 integral 1raizu , du :
Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral está bem mais simples:
2 integral u^-1/2 , du
Integrando:
2 cdot ( u^1/2 12 ) + C = 4 raizu + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original substituindo 4 raizx^2 - 7x + 1 + C :

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de [ 4 raiz0^2 - 7(0) + 1 ] - [ 4 raiz(-1)^2 - 7(-1) + 1 ] a 4 raiz1 - 4 raiz1 + 7 + 1 = 4(1) - 4(3) = 4 - 12 = -8 :
Calculando cada termo:

Resposta

Exercícios relacionados