Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirja.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial de dimensão e precisamos encontrar os valores de para os quais a integral imprópria
diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre o comportamento de integrais de potências no infinito.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da integral para facilitar o entendimento. Observe que:
Então, a integral fica:
Onde .

Passo 3

Agora, precisamos analisar quando essa integral diverge. Sabemos que, para integrais do tipo :
  • Se , a integral diverge.
  • Se , a integral converge.
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .

Passo 4

Vamos igualar e substituir o valor de :
Agora, vamos resolver essa inequação:

Passo 5

Para facilitar, vamos isolar :
Agora, invertendo os dois lados da inequação (lembre-se que, ao multiplicar ou dividir por um número positivo, a desigualdade mantém o sentido):

Resposta

Portanto, a integral imprópria diverge para todos os valores de tais que

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Calcule as integrais: .
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria convirja.
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a função
está bem definida no espaço , de modo que
Calcule a integral .