Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os valores de p>0 para que a integral imprópria integral1^infty s^1ps^1+1N d s divirja.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial integral1^infty s^1ps^1+1N , ds de dimensão e precisamos encontrar os valores de para os quais a integral imprópria
diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre o comportamento de integrais de potências no infinito.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão da integral para facilitar o entendimento. Observe que:
s^1ps^1+1N = s^1p - 1 - 1N
Então, a integral fica:
integral1^infty s^k , ds
Onde .

Passo 3

Agora, precisamos analisar quando essa integral diverge. Sabemos que, para integrais do tipo :
  • Se , a integral diverge.
  • Se , a integral converge.
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem com que .

Passo 4

Vamos igualar 1p - 1 - 1N >= -1 e substituir o valor de 1p - 1N >= 0 :
Agora, vamos resolver essa inequação:

Passo 5

Para facilitar, vamos isolar 1p >= 1N :
p <= N
Agora, invertendo os dois lados da inequação (lembre-se que, ao multiplicar ou dividir por um número positivo, a desigualdade mantém o sentido):

Resposta

Portanto, a integral imprópria diverge para todos os valores de p <= N tais que

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