Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirja.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
de dimensão
e precisamos encontrar os valores de
para os quais a integral imprópria
diverge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre o comportamento de integrais de potências no infinito.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão da integral para facilitar o entendimento. Observe que:
Então, a integral fica:
Onde
.
Passo 3
Agora, precisamos analisar quando essa integral
diverge. Sabemos que, para integrais do tipo
:
- Se
, a integral diverge. - Se
, a integral converge.
Então, nosso objetivo é encontrar os valores de
que fazem com que
.
Passo 4
Vamos igualar
e substituir o valor de
:
Agora, vamos resolver essa inequação:
Passo 5
Para facilitar, vamos isolar
:
Agora, invertendo os dois lados da inequação (lembre-se que, ao multiplicar ou dividir por um número positivo, a desigualdade mantém o sentido):
Resposta
Portanto, a integral imprópria diverge para todos os valores de
tais que
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirja.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a função
está bem definida no espaço
, de modo que
Calcule a integral
.