Calcule as integrais: integral-infty^-2 2 d xx^2-1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que pede para calcular . A matéria envolve cálculo integral, especificamente integrais impróprias e frações parciais. Para resolver, vamos precisar quebrar a fração em partes mais simples e depois integrar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 2x^2-1 = Ax-1 + Bx+1 em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 = A(x + 1) + B(x - 1) para eliminar os denominadores:

Passo 5

Para encontrar 2 = A(2) + B(0) Rightarrow A = 1 e 2 = A(0) + B(-2) Rightarrow B = -1 , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Vamos escolher e :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Então, a fração parcial fica:
2x^2-1 = 1x-1 - 1x+1

Passo 7

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral ( 1x-1 - 1x+1 ) dx = ln|x - 1| - ln|x + 1| + C

Passo 8

Aplicando os limites de integração de [ ln|x - 1| - ln|x + 1| ]-infty^-2 a :

Passo 9

Calculando no limite inferior ( limx to -infty ( ln|x - 1| - ln|x + 1| ) = ln(x - 1x + 1) approx ln(1) = 0 ):

Passo 10

Calculando no limite superior ( ln|-2 - 1| - ln|-2 + 1| = ln(3) - ln(1) = ln(3) ):

Resposta

Exercícios relacionados