Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria convirja.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria de a com a função . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa integral vai convergir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos . Lembrando que , aplicamos isso aqui:

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
Sabemos que integrais da forma convergem se e somente se . Então, vamos igualar o expoente a essa condição.

Passo 4

Vamos definir . Para a integral convergir, precisamos que:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade:
Adicionando em ambos os lados:
Isso implica:

Resposta

Os valores de que fazem a integral convergir são todos os números reais tais que:

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(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para: ;
Calcule as integrais: .
Calcule as integrais: .
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirja.