Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirja.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria de
a
com a função
. Nosso objetivo é descobrir para quais valores de
essa integral vai convergir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e propriedades das potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos
. Lembrando que
, aplicamos isso aqui:
Passo 3
Agora, a integral fica mais simples:
Sabemos que integrais da forma
convergem se e somente se
. Então, vamos igualar o expoente a essa condição.
Passo 4
Vamos definir
. Para a integral convergir, precisamos que:
Passo 5
Resolvendo a desigualdade:
Adicionando
em ambos os lados:
Isso implica:
Resposta
Os valores de
que fazem a integral convergir são todos os números reais tais que:
Exercícios relacionados
(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para:
;
Calcule as integrais:
.
Calcule as integrais:
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirja.