Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os valores de p>0 para que a integral imprópria integral0^1 s^1ps^1+1N d s convirja.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria de a com a função . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa integral vai convergir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre integrais impróprias e propriedades das potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos s^1ps^1+1N = s^1p - (1 + 1N) = s^1p - 1 - 1N . Lembrando que , aplicamos isso aqui:

Passo 3

Agora, a integral fica mais simples:
integral0^1 s^1p - 1 - 1N , ds
Sabemos que integrais da forma convergem se e somente se . Então, vamos igualar o expoente a essa condição.

Passo 4

Vamos definir 1p - 1 - 1N > -1 . Para a integral convergir, precisamos que:

Passo 5

Resolvendo a desigualdade:
1p - 1 - 1N > -1
Adicionando 1p > 1N em ambos os lados:
p < N
Isso implica:

Resposta

Os valores de 0 < p < N que fazem a integral convergir são todos os números reais tais que:

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