(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas, ou seja, o eixo , no intervalo de a . Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a área desejada pode ser calculada integrando a função em relação a no intervalo dado. A fórmula geral para calcular a área sob uma curva entre e é:
No nosso caso, e , então teremos:

Passo 3

Antes de resolver a integral, é importante notar que é negativa no intervalo de a , já que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes. Isso significa que será negativa nesse intervalo. Como queremos a área, que é sempre positiva, vamos considerar o valor absoluto da função. Portanto, a área será:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, podemos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde é a constante de integração. Porém, como vamos calcular um valor definido entre e , a constante se cancela.

Passo 6

Voltando à nossa integral original com o sinal negativo:
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração.

Passo 7

Calculando em :
E em :

Passo 8

Subtraindo os valores obtidos:

Resposta

A área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas no intervalo de a é unidades de área.

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