(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos a área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas, ou seja, o eixo
, no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a área desejada pode ser calculada integrando a função em relação a
no intervalo dado. A fórmula geral para calcular a área
sob uma curva entre
e
é:
No nosso caso,
e
, então teremos:
Passo 3
Antes de resolver a integral, é importante notar que é negativa no intervalo de
a
, já que o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes. Isso significa que será negativa nesse intervalo. Como queremos a área, que é sempre positiva, vamos considerar o valor absoluto da função. Portanto, a área será:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral . Para isso, podemos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Onde
é a constante de integração. Porém, como vamos calcular um valor definido entre
e
, a constante se cancela.
Passo 6
Voltando à nossa integral original com o sinal negativo:
Agora, vamos calcular isso nos limites de integração.
Passo 7
Calculando em
:
E em
:
Passo 8
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A área da região delimitada pela curva e pelo eixo das abscissas no intervalo de
a
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Calcule as integrais usando integração por partes:
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirja.
Calcule as integrais:
.