Calcule as integrais:
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver as duas integrais que você enviou. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas como substituição e identidades trigonométricas. Vamos lá?
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a primeira integral:
Aqui, temos uma função trigonométrica elevada a uma potência multiplicada por outra função trigonométrica. Vamos usar a técnica de substituição para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui, lidamos com uma integral definida envolvendo potências de funções trigonométricas diferentes. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 8
Primeiro, vamos expandir
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 9
Substituindo na integral:
Passo 10
Vamos agora separar a integral:
Passo 11
Para resolver essas integrais, vamos usar a identidade de duplicação para
:
Passo 12
Aplicando a identidade:
Passo 13
Simplificando:
Passo 14
As integrais agora podem ser resolvidas termo a termo usando fórmulas básicas de integração de funções trigonométricas.
Passo 15
Após realizar todas as integrações e simplificações, chegamos ao resultado final para a segunda integral.
Resposta
A primeira integral é:
E a segunda integral avaliada de 0 a
resulta em:
Exercícios relacionados
Calcule as integrais usando integração por partes:
.
Calcule as integrais:
.
(Determinação de área) Determine a área da região delimitada pela curva
e pelo eixo das abscissas (veja a figura a seguir) para:
;
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirja.