Calcule as integrais: .

Passo 1

E aí! Vamos resolver as duas integrais que você enviou. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas como substituição e identidades trigonométricas. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira integral:
Aqui, temos uma função trigonométrica elevada a uma potência multiplicada por outra função trigonométrica. Vamos usar a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que:
Então, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar :

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta para :

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui, lidamos com uma integral definida envolvendo potências de funções trigonométricas diferentes. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 8

Primeiro, vamos expandir . Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 9

Substituindo na integral:

Passo 10

Vamos agora separar a integral:

Passo 11

Para resolver essas integrais, vamos usar a identidade de duplicação para :

Passo 12

Aplicando a identidade:

Passo 13

Simplificando:

Passo 14

As integrais agora podem ser resolvidas termo a termo usando fórmulas básicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 15

Após realizar todas as integrações e simplificações, chegamos ao resultado final para a segunda integral.

Resposta

A primeira integral é:
E a segunda integral avaliada de 0 a resulta em:

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