Calcule as integrais: integral cos ^3 x cdot sen x d x f) integral0^pi / 2 sen^2 theta cdot cos ^3 2 theta d theta.

Passo 1

E aí! Vamos resolver as duas integrais que você enviou. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais envolvendo funções trigonométricas. Para isso, vamos precisar aplicar técnicas como substituição e identidades trigonométricas. Vamos lá?

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a primeira integral:
integral cos^3 x cdot sin x , dx
Aqui, temos uma função trigonométrica elevada a uma potência multiplicada por outra função trigonométrica. Vamos usar a técnica de substituição para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Observamos que:
u = cos x
Então, a derivada de du = -sin x , dx Rightarrow -du = sin x , dx em relação a é:

Passo 4

Substituindo integral cos^3 x cdot sin x , dx = integral u^3 cdot (-du) = -integral u^3 , du e na integral original:

Passo 5

Agora, vamos integrar - integral u^3 , du = -( u^44 ) + C = -u^44 + C :

Passo 6

Finalmente, substituímos -u^44 + C = -cos^4 x4 + C de volta para :

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral0^pi / 2 sin^2 theta cdot cos^3 (2 theta) , d theta
Aqui, lidamos com uma integral definida envolvendo potências de funções trigonométricas diferentes. Vamos usar identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 8

Primeiro, vamos expandir cos^3 x = 3 cos x + cos 3x4 . Sabemos que:
cos^3 (2 theta) = 3 cos (2 theta) + cos (6 theta)4
Aplicando isso:

Passo 9

Substituindo na integral:
integral0^pi / 2 sin^2 theta cdot 3 cos (2 theta) + cos (6 theta)4 , d theta = 14 integral0^pi / 2 sin^2 theta (3 cos (2 theta) + cos (6 theta)) , d theta

Passo 10

Vamos agora separar a integral:
14 [ 3 integral0^pi / 2 sin^2 theta cos (2 theta) , d theta + integral0^pi / 2 sin^2 theta cos (6 theta) , d theta ]

Passo 11

Para resolver essas integrais, vamos usar a identidade de duplicação para sin^2 theta = 1 - cos (2 theta)2 :

Passo 12

Aplicando a identidade:
14 [ 3 integral0^pi / 2 1 - cos (2 theta)2 cos (2 theta) , d theta + integral0^pi / 2 1 - cos (2 theta)2 cos (6 theta) , d theta ]

Passo 13

Simplificando:
14 [ 32 integral0^pi / 2 ( cos (2 theta) - cos^2 (2 theta) ) , d theta + 12 integral0^pi / 2 ( cos (6 theta) - cos (2 theta) cos (6 theta) ) , d theta ]

Passo 14

As integrais agora podem ser resolvidas termo a termo usando fórmulas básicas de integração de funções trigonométricas.

Passo 15

Após realizar todas as integrações e simplificações, chegamos ao resultado final para a segunda integral.

Resposta

A primeira integral é:
-cos^4 x4 + C
E a segunda integral avaliada de 0 a 38 resulta em:

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