Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria convirga.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais impróprias. Precisamos determinar para quais valores de a integral imprópria converge. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de análise de integrais e propriedades de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos combinar os termos com potência de :
Então, a integral se torna:

Passo 3

Agora, sabemos que a integral converge se e somente se . Portanto, precisamos que o expoente seja maior que -1:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de :
Somando 1 e em ambos os lados:

Passo 5

A desigualdade é verdadeira para todo , que já é uma condição dada no problema. Portanto, não há restrições adicionais sobre além de .

Resposta

A integral imprópria converge para todos os valores de .

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Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirga.
Calcule as integrais: .
Seja . Mostre que .
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo .