Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirga.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve integrais impróprias. Precisamos determinar para quais valores de
a integral imprópria
converge. Para isso, vamos utilizar conhecimentos de análise de integrais e propriedades de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Podemos combinar os termos com potência de
:
Então, a integral se torna:
Passo 3
Agora, sabemos que a integral
converge se e somente se
. Portanto, precisamos que o expoente seja maior que -1:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
:
Somando 1 e
em ambos os lados:
Passo 5
A desigualdade
é verdadeira para todo
, que já é uma condição dada no problema. Portanto, não há restrições adicionais sobre
além de
.
Resposta
A integral imprópria
converge para todos os valores de
.
Exercícios relacionados
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirga.
Calcule as integrais:
.
Seja
. Mostre que
.
Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo
.