Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume dos sólidos que resultam da rotação das regiões sombreadas em torno do eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos ou das arandelas.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as funções que delimitam a região sombreada. Suponha que temos duas funções,
e
, onde
está acima de
no intervalo considerado. A diferença entre essas funções define a área que será rotacionada.
Passo 3
Vamos utilizar o método das arandelas para calcular o volume. Esse método é ideal quando a região a ser rotacionada gira em torno de um eixo e há uma distância entre as duas funções que formam a região sombreada.
Passo 4
A fórmula geral para o volume
usando o método das arandelas é:
Aqui:
-
é uma constante (aproximadamente 3,1416). -
representa a área do círculo formado pela função de cima. -
representa a área do círculo formado pela função de baixo. -
e são os limites de integração no eixo .
Passo 5
Para aplicar a fórmula, siga estes passos:
- Identifique as funções
e que delimitam a região sombreada. - Determine os pontos
e onde as duas funções se intersectam ou os limites do intervalo dado. - Substitua
, , e na fórmula do volume. - Calcule a integral para encontrar o valor do volume.
Resposta
O volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões sombreadas em torno do eixo
é dado por:
Para encontrar o valor numérico, substitua as funções
e
e os limites
e
específicos do problema na integral acima e calcule-a.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirga.
Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo
em
e
. As seções transversais perpendiculares ao eixo
são discos
circulares cujos diâmetros vão da reta à reta
, conforme mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.
circulares cujos diâmetros vão da reta
Seja
e
. Calcule a taxa de variação máxima de
no ponto
.