Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno do eixo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o volume dos sólidos que resultam da rotação das regiões sombreadas em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos ou das arandelas.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as funções que delimitam a região sombreada. Suponha que temos duas funções, e , onde está acima de no intervalo considerado. A diferença entre essas funções define a área que será rotacionada.

Passo 3

Vamos utilizar o método das arandelas para calcular o volume. Esse método é ideal quando a região a ser rotacionada gira em torno de um eixo e há uma distância entre as duas funções que formam a região sombreada.

Passo 4

A fórmula geral para o volume usando o método das arandelas é:
Aqui:
  • é uma constante (aproximadamente 3,1416).
  • representa a área do círculo formado pela função de cima.
  • representa a área do círculo formado pela função de baixo.
  • e são os limites de integração no eixo .

Passo 5

Para aplicar a fórmula, siga estes passos:
  1. Identifique as funções e que delimitam a região sombreada.
  2. Determine os pontos e onde as duas funções se intersectam ou os limites do intervalo dado.
  3. Substitua , , e na fórmula do volume.
  4. Calcule a integral para encontrar o valor do volume.

Resposta

O volume dos sólidos obtidos pela rotação das regiões sombreadas em torno do eixo é dado por:
Para encontrar o valor numérico, substitua as funções e e os limites e específicos do problema na integral acima e calcule-a.

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que .
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria convirga.
Um sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo em e . As seções transversais perpendiculares ao eixo são discos
circulares cujos diâmetros vão da reta à reta , conforme mostra a figura a seguir. Determine o volume deste sólido.
Seja e . Calcule a taxa de variação máxima de no ponto .