Calcule as integrais: integral-1^1 d xx^2 / 3.

Passo 1

Vamos resolver a integral definida . Este exercício faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais impróprias. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com integrais que possuem descontinuidades no intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função integral-1^1 dxx^2/3 = integral-1^0 dxx^2/3 + integral0^1 dxx^2/3 apresenta uma descontinuidade em , pois o denominador se anula e a função tende ao infinito. Isso significa que a integral é imprópria e precisamos dividi-la em duas partes:

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte integral x^-2/3 dx = 31 x^1/3 + C = 3x^1/3 + C .
Para isso, encontramos a antiderivada de lima to 0^- [3a^1/3 - 3(-1)^1/3] :
lima to 0^- [3a^1/3 + 3] = 0 + 3 = 3
Agora, avaliamos de até um ponto próximo de :
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, calculamos a segunda parte integral0^1 dxx^2/3 = limb to 0^+ [3(1)^1/3 - 3b^1/3] .
Usamos a mesma antiderivada:
3(1) - 0 = 3
Como e quando :

Passo 5

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
3 (da primeira parte) + 3 (da segunda parte) = 6

Resposta

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