Seja . Mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente tem uma função definida de duas maneiras:
  • Para ,
  • Para ,
A tarefa é mostrar que multiplicando por resulta em para todo . A gente vai precisar entender como funciona uma função peçawise (definida por partes) e aplicar propriedades básicas de multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso quando está entre 0 e , ou seja, . Nessa faixa, a função é dada por:
Agora, vamos multiplicar por :
Aqui, o no numerador e no denominador se cancelam:
Então, para , de fato .

Passo 3

Agora, vamos verificar o caso especial quando . De acordo com a definição da função:
Multiplicando por :
E sabemos que:
Portanto, mesmo quando , temos .

Resposta

Assim, mostramos que para todo , .

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