Seja
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede. A gente tem uma função
definida de duas maneiras:
- Para
, - Para
,
A tarefa é mostrar que multiplicando
por
resulta em para todo
. A gente vai precisar entender como funciona uma função peçawise (definida por partes) e aplicar propriedades básicas de multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso quando
está entre 0 e
, ou seja,
. Nessa faixa, a função é dada por:
Agora, vamos multiplicar
por
:
Aqui, o
no numerador e no denominador se cancelam:
Então, para
, de fato .
Passo 3
Agora, vamos verificar o caso especial quando
. De acordo com a definição da função:
Multiplicando por
:
E sabemos que:
Portanto, mesmo quando
, temos .
Resposta
Assim, mostramos que para todo
, .