Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirga.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo integrais impróprias. O problema quer saber para quais valores de
a integral
não converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre quando uma integral imprópria diverge ou converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A gente tem
. Quando temos potências com a mesma base, podemos subtrair os expoentes:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos entender quando essa integral diverge. Sabemos que, para integrar uma função da forma
, a integral converge se
e diverge se
. Portanto, vamos comparar nosso expoente com -1:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
:
Somando 1 e
aos dois lados:
Isso significa que:
Resposta
A integral
diverge para todos os valores de
tais que
.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais:
.
Encontre o volume abaixo do paraboloide
e acima do círculo
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
convirga.
Seja
. Mostre que
.