Assuma que N é a dimensão de um espaço vetorial X. Determine os valores de p>0 para que a integral imprópria integral1^infty s^1ps^1+1N d s divirga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo envolvendo integrais impróprias. O problema quer saber para quais valores de a integral não converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre quando uma integral imprópria diverge ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A gente tem s^1ps^1+1N = s^1p - (1 + 1N) = s^1p - 1 - 1N . Quando temos potências com a mesma base, podemos subtrair os expoentes:
integral1^infty s^1p - 1 - 1N , ds
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos entender quando essa integral diverge. Sabemos que, para integrar uma função da forma 1p - 1 - 1N >= -1 , a integral converge se e diverge se . Portanto, vamos comparar nosso expoente com -1:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de 1p - 1 - 1N >= -1 :
1p >= 1N
Somando 1 e p <= N aos dois lados:
Isso significa que:

Resposta

A integral diverge para todos os valores de tais que .

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