Encontre o volume abaixo do paraboloide
e acima do círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos encontrar o volume que está abaixo do paraboloide
e acima do círculo
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que simplifica os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o paraboloide
descreve uma superfície onde cada ponto
está definido por essa equação. A região sobre a qual vamos calcular o volume é o círculo
, que é um disco de raio 1 no plano
.
Passo 3
Para calcular o volume, usamos uma integral dupla sobre a região
definida pelo círculo. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
No entanto, como a região
é circular, é mais fácil converter para coordenadas polares, onde
e
. A equação do paraboloide fica
.
Passo 4
Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
Aqui,
é o Jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa:
Resposta
O volume é
.
Exercícios relacionados
Uma coluna de flange largo de aço com perfil HE-320A, está apoiada por pinos nas extremidades e tem comprimento de
. A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide
e um carregamento aplicado excentricamente
. Aflexão ocorre sobre o eixo 1-1 da seção transversal e o carregamento excêntrico age no eixo 2-2 a uma distância de 400 mm a partir do centroide C. a) Usando a fórmula da secante e assumindo
, calcule a tensão de compressão máxima na coluna; b) Se a tensão de escoamento para o aço é 300 MPa , qual é o fator de segurança com relação ao escoamento?
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(Distância entre os topos das mesas)
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(a)
(b)
Calcule as integrais:
.
Assuma que
é a dimensão de um espaço vetorial
. Determine os valores de
para que a integral imprópria
divirga.