Encontre o volume abaixo do paraboloide e acima do círculo .

Passo 1

Beleza, vamos encontrar o volume que está abaixo do paraboloide e acima do círculo . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o paraboloide descreve uma superfície onde cada ponto está definido por essa equação. A região sobre a qual vamos calcular o volume é o círculo , que é um disco de raio 1 no plano .

Passo 3

Para calcular o volume, usamos uma integral dupla sobre a região definida pelo círculo. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
No entanto, como a região é circular, é mais fácil converter para coordenadas polares, onde e . A equação do paraboloide fica .

Passo 4

Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
Aqui, é o Jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa:

Resposta

O volume é .

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Uma coluna de flange largo de aço com perfil HE-320A, está apoiada por pinos nas extremidades e tem comprimento de . A coluna suporta um carregamento aplicado no centroide e um carregamento aplicado excentricamente . Aflexão ocorre sobre o eixo 1-1 da seção transversal e o carregamento excêntrico age no eixo 2-2 a uma distância de 400 mm a partir do centroide C. a) Usando a fórmula da secante e assumindo , calcule a tensão de compressão máxima na coluna; b) Se a tensão de escoamento para o aço é 300 MPa , qual é o fator de segurança com relação ao escoamento?
Dados: A (área da seção):
r (raio de giração)
(Distância entre os topos das mesas)
(a)
(b)
Calcule as integrais: .
Assuma que é a dimensão de um espaço vetorial . Determine os valores de para que a integral imprópria divirga.