Encontre o volume abaixo do paraboloide z = x^2 + y^2 e acima do círculo x^2 + y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos encontrar o volume que está abaixo do paraboloide e acima do círculo . Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que simplifica os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o paraboloide descreve uma superfície onde cada ponto está definido por essa equação. A região sobre a qual vamos calcular o volume é o círculo , que é um disco de raio 1 no plano .

Passo 3

Para calcular o volume, usamos uma integral dupla sobre a região definida pelo círculo. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
No entanto, como a região é circular, é mais fácil converter para coordenadas polares, onde e . A equação do paraboloide fica .

Passo 4

Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
Aqui, é o Jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa:

Resposta

O volume é .

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