Encontre o volume abaixo do paraboloide
e acima do círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos encontrar o volume que está abaixo do paraboloide
e acima do círculo
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos mudar para coordenadas polares porque a região é circular, o que simplifica os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o paraboloide
descreve uma superfície onde cada ponto
está definido por essa equação. A região sobre a qual vamos calcular o volume é o círculo
, que é um disco de raio 1 no plano
.
Passo 3
Para calcular o volume, usamos uma integral dupla sobre a região
definida pelo círculo. Em coordenadas cartesianas, a integral seria:
No entanto, como a região
é circular, é mais fácil converter para coordenadas polares, onde
e
. A equação do paraboloide fica
.
Passo 4
Em coordenadas polares, a integral dupla se transforma em:
Aqui,
é o Jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa:
Resposta
O volume é
.