Assuma que
e faça o que se pede.
(b) Calcule
, quando
é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.
(b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um campo vetorial
que é o gradiente de uma função, ou seja,
. A gente precisa calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva fechada
que está orientada positivamente e que envolve a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente sobre campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
, onde
. Isso quer dizer que
é um campo vetorial conservativo. Campos conservativos têm uma propriedade legal: a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho que a gente escolhe, mas sim apenas da diferença nas funções potenciais nesses pontos.
Passo 3
Agora, quando temos uma curva fechada
(ou seja, a gente começa e termina no mesmo ponto), a integral de linha de um campo conservativo ao longo dessa curva é sempre zero. Isso acontece porque a função potencial volta ao mesmo valor quando a gente percorre um caminho fechado, então a diferença é zero.
Passo 4
Então, aplicando essa ideia aqui, já que
é o gradiente de
e portanto é um campo conservativo, a integral de linha
ao longo de qualquer curva fechada
será zero, independentemente de
conter a origem ou não.