Assuma que F=nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(b) Calcule integralC F d r, quando C é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício fala sobre um campo vetorial F que é o gradiente de uma função, ou seja, F = nabla(x^2 y^3 z^4). A gente precisa calcular a integral de linha desse campo ao longo de uma curva fechada C que está orientada positivamente e que envolve a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, principalmente sobre campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa F = nabla f, onde f(x, y, z) = x^2 y^3 z^4. Isso quer dizer que F é um campo vetorial conservativo. Campos conservativos têm uma propriedade legal: a integral de linha entre dois pontos não depende do caminho que a gente escolhe, mas sim apenas da diferença nas funções potenciais nesses pontos.

Passo 3

Agora, quando temos uma curva fechada C (ou seja, a gente começa e termina no mesmo ponto), a integral de linha de um campo conservativo ao longo dessa curva é sempre zero. Isso acontece porque a função potencial volta ao mesmo valor quando a gente percorre um caminho fechado, então a diferença é zero.

Passo 4

Então, aplicando essa ideia aqui, já que F é o gradiente de f e portanto é um campo conservativo, a integral de linha integralC F , dr ao longo de qualquer curva fechada C será zero, independentemente de C conter a origem ou não.

Resposta

integralC F , dr = 0

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