Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equações.
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resolver a parte (b) do exercício. Temos o campo vetorial
, onde
. O objetivo é encontrar uma curva
que satisfaça a equação
. Para isso, vamos utilizar conceitos de campos conservativos e potenciais, além de entender como calcular integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é o gradiente de
, ou seja,
. Isso significa que
é um campo conservativo. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho escolhido.
Passo 3
A integral de linha de um campo conservativo
ao longo de uma curva
de um ponto
a um ponto
é igual a
. No nosso caso, queremos que
. Então, precisamos que
.
Passo 4
Escolhemos um ponto inicial
e definimos o ponto final
tal que
. Por exemplo, podemos fixar
. Calculando, temos:
Para que
, precisamos que
. Então:
Isso ocorre quando
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Escolhemos um valor de
para simplificar. Assim, a equação fica:
Podemos resolver para
:
Essa equação representa uma linha reta no plano
. Portanto, a curva
é a reta
que liga o ponto
a qualquer ponto
na reta tal que a integral seja 1.
Resposta
A curva
que satisfaz
é a reta definida por
.
Exercícios relacionados
Seja
(b) Existe ? Justifique sua resposta.
(b) Existe
Assuma que
e faça o que se pede.
(b) Calcule , quando
é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.
(b) Calcule
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(b)
(b)
Assuma que
e faça o que se pede.
(a) Encontre a expressão vetorial de .
(a) Encontre a expressão vetorial de