Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(2 x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equações.
(b) integralC2 F cdot d r=1.

Passo 1

Vamos resolver a parte (b) do exercício. Temos o campo vetorial , onde . O objetivo é encontrar uma curva que satisfaça a equação . Para isso, vamos utilizar conceitos de campos conservativos e potenciais, além de entender como calcular integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é o gradiente de , ou seja, . Isso significa que é um campo conservativo. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que a integral de linha entre dois pontos depende apenas dos pontos finais e não do caminho escolhido.

Passo 3

A integral de linha de um campo conservativo ao longo de uma curva de um ponto a um ponto é igual a . No nosso caso, queremos que . Então, precisamos que .

Passo 4

Escolhemos um ponto inicial f(0, 0) = sin(2 cdot 0 - 0) = sin(0) = 0 e definimos o ponto final sin(2x - y) = 1 tal que . Por exemplo, podemos fixar . Calculando, temos:
Para que , precisamos que . Então:
Isso ocorre quando , onde é um inteiro.

Passo 5

Escolhemos um valor de 2x - y = pi2 para simplificar. Assim, a equação fica:
y = 2x - pi2
Podemos resolver para :
Essa equação representa uma linha reta no plano . Portanto, a curva é a reta que liga o ponto a qualquer ponto na reta tal que a integral seja 1.

Resposta

A curva que satisfaz é a reta definida por .

Exercícios relacionados

Seja f(x)= 3-x, & se x<2 x2+1, & se x>2
(b) Existe lim x 2 f(x) ? Justifique sua resposta.
Assuma que F=nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(b) Calcule integralC F d r, quando C é uma curva fechada, orientada positivamente e que contem a origem internamente.
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(b) f(x)=x+1, p=1, l=2
Assuma que F = nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(a) Encontre a expressão vetorial de F.