Assuma que
e faça o que se pede.
(a) Encontre a expressão vetorial de
.
(a) Encontre a expressão vetorial de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma força vetorial
que é o gradiente da função
. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão completa desse vetor
. Para isso, precisamos entender como calcular o gradiente de uma função escalar em três dimensões usando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, que nesse caso é
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento dessa função. Ele é calculado fazendo as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis:
,
e
. Ou seja, temos que achar
,
e
dessa função.
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial em relação a
: Aqui, tratamose como constantes e derivamos . -
Derivada parcial em relação a
: Agora,e são constantes e derivamos . -
Derivada parcial em relação a
: Aqui,e são constantes e derivamos .
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, montamos o vetor gradiente
juntando essas componentes:
Resposta
A expressão vetorial de
é:
Exercícios relacionados
Mostre, usando a definição formal (ou seja, via
e
) que
nos casos seguintes.
(b)
(b)
Se
, onde
. Encontre curvas
e
que satisfaçam as equações.
(b) .
(b)
Calcule:
©
©
Calcule os limites:
(f)
(f)