Assuma que F = nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(a) Encontre a expressão vetorial de F.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma força vetorial F que é o gradiente da função . Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão completa desse vetor F. Para isso, precisamos entender como calcular o gradiente de uma função escalar em três dimensões usando derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar, que nesse caso é , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento dessa função. Ele é calculado fazendo as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis: x, y e z. Ou seja, temos que achar , e dessa função.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
    Aqui, tratamos y e z como constantes e derivamos x^2.
  2. Derivada parcial em relação a y:
    Agora, x e z são constantes e derivamos .
  3. Derivada parcial em relação a z:
    Aqui, x e y são constantes e derivamos z^4.

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, montamos o vetor gradiente F juntando essas componentes:

Resposta

A expressão vetorial de F é:

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Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(b) f(x)=x+1, p=1, l=2
Se F=nabla f, onde f(x, y)=sen(2 x-y). Encontre curvas C1 e C2 que satisfaçam as equações.
(b) integralC2 F cdot d r=1.
Calcule:
© lim x 3 x^2-9x+9
Calcule os limites:
(f) lim x 0 1-cos (2 x^3)1-cos (x^3)