Calcule os limites:
(f) lim x 0 1-cos (2 x^3)1-cos (x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcularmos o limite quando tende a 0 da expressão . Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que relaciona o cosseno com funções quadráticas, além de propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para pequenos valores de , a expressão pode ser aproximada usando a identidade . Isso vai nos ajudar a simplificar tanto o numerador quanto o denominador.

Passo 3

Aplicando essa identidade ao numerador:
1 - cos(2x^3) = 2sin^2(2x^32) = 2sin^2(x^3)
E ao denominador:
1 - cos(x^3) = 2sin^2(x^32)

Passo 4

Substituindo essas expressões na fração original, temos:
1 - cos(2x^3)1 - cos(x^3) = 2sin^2(x^3)2sin^2(x^32) = sin^2(x^3)sin^2(x^32)

Passo 5

Agora, vamos lembrar que sin(x^3) approx x^3 e sin(x^32) approx x^32 quando é pequeno. Como está tendendo a 0, também tende a 0. Assim, podemos aproximar:

Passo 6

Substituindo essas aproximações na expressão:
sin^2(x^3)sin^2(x^32) approx (x^3)^2(x^32)^2 = x^6x^64 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

Exercícios relacionados

Calcule:
© lim x 3 x^2-9x+9
Assuma que F = nabla(x^2 y^3 z^4) e faça o que se pede.
(a) Encontre a expressão vetorial de F.
Use o Teorema do Confronto para calcular os limites abaixo.
(b) lim x 0 3 x^2 tg(7x)2 x+1
Calcule os limites:
© lim x 1 sen(x^4-1)x-1