Mostre, usando a definição formal (ou seja, via varepsilon e de ) que lim x p f(x)=l nos casos seguintes.
(b) f(x)=x+1, p=1, l=2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrarmos, usando a definição de limite com varepsilon e de, que lim x 1 f(x) = 2, onde f(x) = x + 1. Isso está relacionado ao estudo de limites em cálculo, especificamente usando a definição formal para provar que uma função se aproxima de um valor certo quando a variável se aproxima de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição formal de limite usando varepsilon e de. Dizemos que limx to p f(x) = l se, para todo número varepsilon > 0, existe um número de 0 tal que, sempre que 0 < |x - p| < de, então |f(x) - l| < varepsilon.

Passo 3

No nosso caso, queremos mostrar que lim x 1 (x + 1) = 2. Então, p = 1, l = 2 e f(x) = x + 1. Precisamos mostrar que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < |x - 1| < de, então | (x + 1) - 2 | < varepsilon.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão | (x + 1) - 2 |:
| (x + 1) - 2 | = |x - 1|
Então, nossa condição para |f(x) - l| < varepsilon se torna |x - 1| < varepsilon.

Passo 5

Observamos que se escolhemos de, então sempre que |x - 1| < de, temos:
|x - 1| < de
Isso satisfaz a definição de limite que estamos usando.

Passo 6

Portanto, para todo varepsilon > 0, ao escolhermos de, garantimos que |f(x) - 2| < varepsilon sempre que 0 < |x - 1| < de.

Resposta

Com isso, mostramos que lim x 1 (x + 1) = 2 usando a definição formal de limite com varepsilon e de.

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