Assuma que o ponto A seja forçado a deslizar sobre o trilho horizontal num movimento harmônico dado por:
s(t)=6 cm[1-cos (pi5 rads t)]
e responda:
Qual é a aceleraçào aA do vértice A no instante t1=2,5 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto A que se move num trilho horizontal seguindo um movimento harmônico, e a posição dele ao longo do tempo é dada pela função:
s(t) = 6 , cm [1 - cos(pi5 , rad/s cdot t)]
O nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração do ponto A no instante segundos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de derivadas, já que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a posição v(t) = dsdt nos dá onde o ponto A está no tempo a(t) = dvdt = d^2sdt^2 . A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo:
E a aceleração é a segunda derivada da posição, ou a primeira derivada da velocidade:
Então, para encontrar a aceleração, precisamos derivar duas vezes a função .

Passo 3

Vamos começar derivando a função s(t) = 6 [1 - cos(pi5 t)] para encontrar a velocidade ddt [-cos(pi5 t)] = pi5 sin(pi5 t) . A função é:
v(t) = 6 cdot pi5 sin(pi5 t) = 6pi5 sin(pi5 t)
A derivada de é zero, e a derivada de é:
Então, a velocidade fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade v(t) = 6pi5 sin(pi5 t) para encontrar a aceleração ddt sin(pi5 t) = pi5 cos(pi5 t) . Temos:
a(t) = 6pi5 cdot pi5 cos(pi5 t) = 6pi^225 cos(pi5 t)
A derivada de é:
Portanto, a aceleração é:

Passo 5

Agora que temos a expressão para a aceleração, vamos substituir aA = 6pi^225 cos(pi5 cdot 2,5) segundos para encontrar pi5 cdot 2,5 = pi2 :
cos(pi2) = 0
Calculando o argumento do cosseno:
aA = 6pi^225 cdot 0 = 0 , cm/s^2
E sabemos que:
Portanto:

Resposta

A aceleração do vértice no instante segundos é .

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