Assuma que
dada por
, seja integrável em
. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre o domínio
. Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente às Integrais Duplas. Para resolver, precisamos entender como calcular integrais sobre regiões bidimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla
. Essa integral calcula o volume sob a superfície definida por
no domínio
. No nosso caso,
é o quadrado que vai de 0 a 1 em ambas as direções
e
.
Passo 3
Como nosso domínio é um retângulo
, podemos separar a integral dupla em duas integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em
e depois em
. Assim, temos:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é a integral de
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos fatorá-lo para fora da integral:
Passo 5
Agora, calculamos a integral de
em relação a
:
Portanto, a integral interna fica:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Podemos fatorar
para fora da integral:
Passo 7
Calculamos a integral de
em relação a
:
Portanto, a integral externa fica:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.