Assuma que f: D subset R^2 R dada por f(x, y)=x^3 y^2, seja integrável em D=[0,1] times[0,1]. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule
integral duplaD f(x, y) d x d y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla de sobre o domínio . Esse tipo de problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente às Integrais Duplas. Para resolver, precisamos entender como calcular integrais sobre regiões bidimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral dupla . Essa integral calcula o volume sob a superfície definida por no domínio . No nosso caso, é o quadrado que vai de 0 a 1 em ambas as direções e .

Passo 3

Como nosso domínio é um retângulo integral duplaD x^3 y^2 , dx , dy = integral0^1 ( integral0^1 x^3 y^2 , dx ) dy , podemos separar a integral dupla em duas integrais iteradas, ou seja, integrar primeiro em e depois em . Assim, temos:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é a integral de integral0^1 x^3 y^2 , dx em relação a y^2 integral0^1 x^3 , dx :
Como é constante em relação a , podemos fatorá-lo para fora da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral0^1 x^3 , dx = [ x^44 ]0^1 = 1^44 - 0^44 = 14 em relação a y^2 times 14 = y^24 :
Portanto, a integral interna fica:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1 y^24 , dy
Podemos fatorar 14 integral0^1 y^2 , dy para fora da integral:

Passo 7

Calculamos a integral de integral0^1 y^2 , dy = [ y^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 em relação a 14 times 13 = 112 :
Portanto, a integral externa fica:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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