Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício de cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
sobre a região
. Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral dupla, como identificar e esboçar a região de integração, e como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Temos que
varia de 0 a 1 e, para cada valor de
,
varia de
a
. Isso significa que para cada linha horizontal entre
e
,
vai de
a
.
Vamos esboçar essa região:
- No eixo
, temos indo de 0 a 1. - Para cada
, varia de a , formando uma faixa que se alarga conforme aumenta.
Isso cria uma região triangular simétrica em relação ao eixo
, onde a base está no intervalo de
a
e os limites de
são linhas inclinadas
e
.
Passo 3
Agora que entendemos a região, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla
pode ser escrita como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de
a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Observe que
é tratado como uma constante na integração em relação a
. Vamos usar a substituição
, então:
Substituindo na integral:
Isso acontece porque os limites de integração se tornam os mesmos, resultando em zero.
Passo 5
Como a integral interna resultou em zero, toda a integral dupla também será zero. Portanto, o valor da integral é:
Resposta
Exercícios relacionados
Estude a integrabilidade das funções dadas.
em
.
Assuma que
dada por
, seja integrável em
. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule
Calcule as integrais
. Faça um esboço da região de integração.
e
o triângulo de vértices
e
.
Considere
definida na região
Calcule o volume do sólido compreendido entre o plano
e o gráfico de
, com
.