Calcule as integrais integral duplaB f(x, y) d x d y. Faça um esboço da região de integração. f(x, y)=x e^y^2-x^2 e B=(x, y): 0 <= y <= 1 e-y <= x <= y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício de cálculo de integrais duplas. O enunciado pede para calcular a integral dupla da função sobre a região . Para isso, vamos precisar entender o que é uma integral dupla, como identificar e esboçar a região de integração, e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Temos que varia de 0 a 1 e, para cada valor de , varia de a . Isso significa que para cada linha horizontal entre e , vai de a .
Vamos esboçar essa região:
  • No eixo , temos indo de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a , formando uma faixa que se alarga conforme aumenta.
Isso cria uma região triangular simétrica em relação ao eixo , onde a base está no intervalo de a e os limites de são linhas inclinadas e .

Passo 3

Agora que entendemos a região, vamos configurar a integral dupla. A integral dupla integraly=0^1 integralx=-y^y x e^y^2 - x^2 , dx , dy pode ser escrita como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integralx=-y^y x e^y^2 - x^2 , dx :
du = -2x , dx Rightarrow -12 du = x , dx
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Observe que -12 integralu=y^2 - (-y)^2^u=y^2 - y^2 e^u , du = -12 integralu=0^u=0 e^u , du = 0 é tratado como uma constante na integração em relação a . Vamos usar a substituição , então:
Substituindo na integral:
Isso acontece porque os limites de integração se tornam os mesmos, resultando em zero.

Passo 5

Como a integral interna resultou em zero, toda a integral dupla também será zero. Portanto, o valor da integral é:

Resposta

integral duplaB f(x, y) , dx , dy = 0

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