Estude a integrabilidade das funções dadas. f(x, y) = { 3x / raiz(x^2 + y^4) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0) } em B = [-1, 1] x [-1, 1].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar a integrabilidade da função dada:
O domínio em questão é o retângulo . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de integração de funções de duas variáveis, especialmente quando a função pode ter pontos de descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável em um domínio. No caso das funções de duas variáveis, como a nossa, usamos a integral de Riemann. Para a função ser integrável nesse sentido, ela precisa satisfazer duas condições principais:
  1. Ser limitada no domínio de integração.
  2. O conjunto dos pontos de descontinuidade deve ter medida de área zero.
Vamos verificar se a função f(x, y) atende a essas condições.

Passo 3

1. Verificando se a função é limitada:
Olhemos para a expressão de f(x, y) quando :
Podemos analisar o comportamento dessa função observando o valor absoluto:
Então, para todo . No ponto (0,0), . Logo, a função é limitada no domínio B.

Passo 4

2. Verificando os pontos de descontinuidade:
A função está definida em todo o domínio B, mas precisamos ver onde ela pode ser descontínua.
  • Para , a função é uma combinação de funções contínuas (polinômios e raízes), portanto, contínua nesses pontos.
  • No ponto (0,0), precisamos verificar a continuidade.
Vamos calcular o limite de f(x, y) quando :
Se nos aproximarmos de diferentes caminhos:
  • Caminho 1: ,
    Esse limite não existe, pois depende do lado por onde x se aproxima de 0.
  • Caminho 2: x = 0,
Como o limite depende do caminho, a função não é contínua em (0,0).
Portanto, a única descontinuidade está no ponto (0,0), que é um conjunto de medida zero no domínio B.

Resposta

A função f(x, y) é integrável no retângulo .

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