Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa estudar a integrabilidade da função dada:
O domínio em questão é o retângulo. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de integração de funções de duas variáveis, especialmente quando a função pode ter pontos de descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável em um domínio. No caso das funções de duas variáveis, como a nossa, usamos a integral de Riemann. Para a função ser integrável nesse sentido, ela precisa satisfazer duas condições principais:
Ser limitada no domínio de integração.
O conjunto dos pontos de descontinuidade deve ter medida de área zero.
Vamos verificar se a função atende a essas condições.
Passo 3
1. Verificando se a função é limitada:
Olhemos para a expressão de quando :
Podemos analisar o comportamento dessa função observando o valor absoluto:
Então, para todo . No ponto (0,0), . Logo, a função é limitada no domínio B.
Passo 4
2. Verificando os pontos de descontinuidade:
A função está definida em todo o domínio B, mas precisamos ver onde ela pode ser descontínua.
Para , a função é uma combinação de funções contínuas (polinômios e raízes), portanto, contínua nesses pontos.
No ponto (0,0), precisamos verificar a continuidade.
Vamos calcular o limite de f(x, y) quando :
Se nos aproximarmos de diferentes caminhos:
Caminho 1:,
Esse limite não existe, pois depende do lado por onde x se aproxima de 0.
Caminho 2:x = 0,
Como o limite depende do caminho, a função não é contínua em (0,0).
Portanto, a única descontinuidade está no ponto (0,0), que é um conjunto de medida zero no domínio B.