Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante Jacobiano e, se possível, achar a transformação inversa da função . Estamos lidando com coordenadas cilíndricas e cartesianas, então vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de Jacobiano, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. Nesse caso, nossa função mapeia de coordenadas cilíndricas para cartesianas . Então, vamos escrever as funções separadamente:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz Jacobiana. Isso significa calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e .
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz Jacobiana. O determinante de uma matriz triangular (ou que pode ser simplificada para triangular) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Utilizamos a identidade trigonométrica .
Passo 5
Com o determinante Jacobiano , sabemos que o Jacobiano existe enquanto . Agora, vamos encontrar a transformação inversa, ou seja, expressar , e em termos de , e .
Dado que:
Podemos resolver para e :
Para :
Para :
E permanece o mesmo:
Resposta
O determinante Jacobiano é e a transformação inversa, quando , é dada por: