Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa. f(r, theta, z) = (r * cos(theta), r * sen(theta), z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante Jacobiano e, se possível, achar a transformação inversa da função . Estamos lidando com coordenadas cilíndricas e cartesianas, então vamos usar cálculo diferencial, especificamente o conceito de Jacobiano, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Jacobiano. O Jacobiano é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das funções que definem a transformação. Nesse caso, nossa função mapeia de coordenadas cilíndricas para cartesianas . Então, vamos escrever as funções separadamente:

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz Jacobiana. Isso significa calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e .
Calculando cada derivada:
Então, a matriz Jacobiana fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz Jacobiana. O determinante de uma matriz triangular (ou que pode ser simplificada para triangular) é o produto dos elementos da diagonal principal.
Utilizamos a identidade trigonométrica .

Passo 5

Com o determinante Jacobiano , sabemos que o Jacobiano existe enquanto . Agora, vamos encontrar a transformação inversa, ou seja, expressar , e em termos de , e .
Dado que:
Podemos resolver para e :
  • Para :
  • Para :
E permanece o mesmo:

Resposta

O determinante Jacobiano é e a transformação inversa, quando , é dada por:

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