Estude a diferenciabilidade das funções dadas. f(x, y) = { y^4 / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Vamos analisar a diferenciabilidade da função dada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para verificar se é diferenciável no ponto , precisamos analisar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando nos movemos infinitesimalmente em uma direção específica.
Para encontrar e , usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 3

Calculando :
Então,

Passo 4

Calculando :
Então,

Passo 5

Agora que encontramos as derivadas parciais e , precisamos verificar se a função é diferenciável no ponto .
Para isso, verificamos se o limite:
Se esse limite for zero, a função é diferenciável no ponto.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados:

Passo 7

Para avaliar esse limite, podemos usar coordenadas polares onde e . Assim:
Agora, ao fazer :

Passo 8

Como o limite é zero, concluímos que a função é diferenciável no ponto .

Resposta

A função é diferenciável no ponto .

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