Estude a diferenciabilidade das funções dadas.
Passo 1
Vamos analisar a diferenciabilidade da função
dada por:
Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente com a diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para verificar se
é diferenciável no ponto
, precisamos analisar se as derivadas parciais existem e se a função se comporta de maneira linear perto desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando nos movemos infinitesimalmente em uma direção específica.
Para encontrar
e
, usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 3
Calculando
:
Então,
Passo 4
Calculando
:
Então,
Passo 5
Agora que encontramos as derivadas parciais
e
, precisamos verificar se a função é diferenciável no ponto
.
Para isso, verificamos se o limite:
Se esse limite for zero, a função é diferenciável no ponto.
Passo 6
Substituindo os valores encontrados:
Passo 7
Para avaliar esse limite, podemos usar coordenadas polares onde
e
. Assim:
Agora, ao fazer
:
Passo 8
Como o limite é zero, concluímos que a função
é diferenciável no ponto
.
Resposta
A função
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas.
Calcule os limites das funções dadas, nos pontos indicados.
no
Calcule o determinante Jacobiano e, se existir, a transformação inversa.
Assuma que
dada por
, seja integrável em
. Usando a mesma ideia desenvolvida no exemplo 2 da videoaula 9, calcule