Assuma que o supremo de um subconjunto
de
exista. Mostre que, para todo
, existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto
de números reais e sabe que ele tem um supremo, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
. A questão pede para mostrar que, para qualquer
, existe um elemento
em
que está bem próximo do supremo, ou seja, satisfaz
. Para isso, vamos usar conceitos de menor limite superior e entender como elementos de
se comportam em relação ao supremo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo. O supremo
é o menor número que é um limite superior para
. Isso significa que todo elemento de
é menor ou igual a
, e não existe nenhum número menor que
que também seja um limite superior para
.
Passo 3
Agora, escolha qualquer
. Queremos encontrar um
em
tal que
. Vamos supor por absurdo que nenhum elemento de
está nesse intervalo, ou seja, que todos os elementos de
são menores ou iguais a
.
Passo 4
Se todos os elementos de
fossem menores ou iguais a
, então
seria um limite superior para
, porque todos os
em
estariam abaixo desse número.
Passo 5
Mas isso é um problema, porque
é definido como o menor limite superior de
. Se
também fosse um limite superior, isso significaria que há um limite superior menor que
, o que contradiz a definição do supremo.
Passo 6
Portanto, nossa suposição de que nenhum
em
está entre
e
está errada. Isso implica que deve existir pelo menos um elemento
em
que satisfaz
.
Resposta
Assim, mostramos que para todo
, existe um
tal que
.