Assuma que o supremo de um subconjunto A de R exista. Mostre que, para todo epsilon > 0, existe x em A tal que sup A - epsilon < x < sup A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de números reais e sabe que ele tem um supremo, que é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de . A questão pede para mostrar que, para qualquer , existe um elemento em que está bem próximo do supremo, ou seja, satisfaz . Para isso, vamos usar conceitos de menor limite superior e entender como elementos de se comportam em relação ao supremo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo. O supremo é o menor número que é um limite superior para . Isso significa que todo elemento de é menor ou igual a , e não existe nenhum número menor que que também seja um limite superior para .

Passo 3

Agora, escolha qualquer . Queremos encontrar um em tal que . Vamos supor por absurdo que nenhum elemento de está nesse intervalo, ou seja, que todos os elementos de são menores ou iguais a .

Passo 4

Se todos os elementos de fossem menores ou iguais a , então seria um limite superior para , porque todos os em estariam abaixo desse número.

Passo 5

Mas isso é um problema, porque é definido como o menor limite superior de . Se também fosse um limite superior, isso significaria que há um limite superior menor que , o que contradiz a definição do supremo.

Passo 6

Portanto, nossa suposição de que nenhum em está entre e está errada. Isso implica que deve existir pelo menos um elemento em que satisfaz .

Resposta

Assim, mostramos que para todo , existe um tal que .

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