Seja
não vazio e limitado. Dado
, seja
. Prove que
é limitado e que
e que
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto
que é não vazio e limitado em
. Dado um número positivo
, definimos
. Nosso objetivo é provar três coisas:
-
também é um conjunto limitado. - O supremo de
é igual a vezes o supremo de . - O ínfimo de
é igual a vezes o ínfimo de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, supremum (
) e ínfimo (
) de conjuntos de números reais, além de propriedades da multiplicação por um escalar positivo.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que
é limitado. Sabemos que
é limitado, o que significa que existe um número real que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para os elementos de
. Multiplicando todos os elementos de
por um número positivo
, vamos ver como esses limites se transformam.
Passo 3
Como
é limitado, existem números reais
e
tais que
para todo
. Multiplicando toda a desigualdade por
, que é positivo, a ordem das desigualdades se mantém. Assim:
Isso mostra que todos os elementos de
estão entre
e
, o que prova que
é limitado.
Passo 4
Agora, vamos provar que
. Seja
. Sabemos que
é o menor limite superior de
, ou seja,
para todo
e se
é qualquer outro limite superior de
, então
.
Passo 5
Multiplicando a desigualdade
por
(positivo), obtemos:
Isso significa que
é um limite superior para
. Agora, precisamos mostrar que
é o menor limite superior, ou seja, que
.
Passo 6
Suponha que exista outro limite superior
para
. Como
é um limite superior, temos:
Dividindo ambos os lados por
(positivo):
Isso mostra que
é um limite superior para
. Como
, então
, o que implica
. Portanto,
é o menor limite superior de
, ou seja,
.
Passo 7
Finalmente, vamos provar que
. Seja
. Sabemos que
é o maior limite inferior de
, ou seja,
para todo
e se
é qualquer outro limite inferior de
, então
.
Passo 8
Multiplicando a desigualdade
por
(positivo), obtemos:
Isso significa que
é um limite inferior para
. Agora, precisamos mostrar que
é o maior limite inferior, ou seja, que
.
Passo 9
Suponha que exista outro limite inferior
para
. Como
é um limite inferior, temos:
Dividindo ambos os lados por
(positivo):
Isso mostra que
é um limite inferior para
. Como
, então
, o que implica
. Portanto,
é o maior limite inferior de
, ou seja,
.
Resposta
Assim, provamos que
é limitado, que
e que
.