Seja A ⊆ R não vazio e limitado. Dado c > 0, seja c . A = { c . x ; x em A }. Prove que c . A é limitado e que sup(c * A) = c * sup(A) e que inf(c * A) = c * inf(A).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos um conjunto que é não vazio e limitado em . Dado um número positivo , definimos . Nosso objetivo é provar três coisas:
  1. também é um conjunto limitado.
  2. O supremo de é igual a vezes o supremo de .
  3. O ínfimo de é igual a vezes o ínfimo de .
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de limites, supremum ( ) e ínfimo ( ) de conjuntos de números reais, além de propriedades da multiplicação por um escalar positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que é limitado. Sabemos que é limitado, o que significa que existe um número real que serve como limite superior e outro que serve como limite inferior para os elementos de . Multiplicando todos os elementos de por um número positivo , vamos ver como esses limites se transformam.

Passo 3

Como é limitado, existem números reais e tais que para todo . Multiplicando toda a desigualdade por , que é positivo, a ordem das desigualdades se mantém. Assim:
Isso mostra que todos os elementos de estão entre e , o que prova que é limitado.

Passo 4

Agora, vamos provar que . Seja . Sabemos que é o menor limite superior de , ou seja, para todo e se é qualquer outro limite superior de , então .

Passo 5

Multiplicando a desigualdade por (positivo), obtemos:
Isso significa que é um limite superior para . Agora, precisamos mostrar que é o menor limite superior, ou seja, que .

Passo 6

Suponha que exista outro limite superior para . Como é um limite superior, temos:
Dividindo ambos os lados por (positivo):
Isso mostra que é um limite superior para . Como , então , o que implica . Portanto, é o menor limite superior de , ou seja, .

Passo 7

Finalmente, vamos provar que . Seja . Sabemos que é o maior limite inferior de , ou seja, para todo e se é qualquer outro limite inferior de , então .

Passo 8

Multiplicando a desigualdade por (positivo), obtemos:
Isso significa que é um limite inferior para . Agora, precisamos mostrar que é o maior limite inferior, ou seja, que .

Passo 9

Suponha que exista outro limite inferior para . Como é um limite inferior, temos:
Dividindo ambos os lados por (positivo):
Isso mostra que é um limite inferior para . Como , então , o que implica . Portanto, é o maior limite inferior de , ou seja, .

Resposta

Assim, provamos que é limitado, que e que .

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