Se X = inf { 1/n, n pertence a N }, mostre que inf(X) = 0.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o conceito de ínfimo em matemática. O problema nos pede para mostrar que o ínfimo do conjunto é igual a 0. Para isso, precisamos entender o que é ínfimo e como identificá-lo em um conjunto de números.

Passo 2

Primeiro, o que é ínfimo? O ínfimo de um conjunto é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos desse conjunto. Pense nele como o “limite inferior” do conjunto. Ele pode ou não fazer parte do conjunto.

Passo 3

Vamos analisar o conjunto . Isso significa que é formado pelos reciprocais dos números naturais:
  • Quando , temos
  • Quando , temos
  • Quando , temos
  • E assim por diante…
À medida que aumenta, os valores de ficam menores e se aproximam de 0.

Passo 4

Observação importante: Todos os elementos de são positivos e decrescem à medida que aumenta. Isso nos indica que 0 é o menor valor que os elementos de estão se aproximando, mas nunca vão realmente atingir.

Passo 5

Para mostrar que , precisamos provar dois pontos:
  1. 0 é um limite inferior de : Ou seja, 0 é menor ou igual a todo elemento de .
  2. Nenhum número maior que 0 pode ser um limite inferior de : Isso garante que 0 é o maior limite inferior possível, ou seja, o ínfimo.

Passo 6

Primeiro, vamos provar que 0 é um limite inferior de :
  • Para todo , .
  • Portanto, 0 é menor que ou igual a todos os elementos de .

Passo 7

Agora, vamos mostrar que nenhum número maior que 0 pode ser um limite inferior de :
  • Suponha que exista um número que seja também um limite inferior de .
  • Isso significaria que para todo .
  • Porém, podemos escolher suficientemente grande tal que , o que é uma contradição.
  • Portanto, não existe nenhum que seja um limite inferior de .

Passo 8

Como vimos que 0 é um limite inferior de e que nenhum número maior pode ser um limite inferior, concluímos que 0 é o ínfimo de .

Resposta

O ínfimo de é 0.

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