Se
,
que
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o conceito de ínfimo em matemática. O problema nos pede para mostrar que o ínfimo do conjunto
é igual a 0. Para isso, precisamos entender o que é ínfimo e como identificá-lo em um conjunto de números.
Passo 2
Primeiro, o que é ínfimo? O ínfimo de um conjunto é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos desse conjunto. Pense nele como o “limite inferior” do conjunto. Ele pode ou não fazer parte do conjunto.
Passo 3
Vamos analisar o conjunto
. Isso significa que
é formado pelos reciprocais dos números naturais:
- Quando
, temos - Quando
, temos - Quando
, temos - E assim por diante…
À medida que
aumenta, os valores de
ficam menores e se aproximam de 0.
Passo 4
Observação importante: Todos os elementos de
são positivos e decrescem à medida que
aumenta. Isso nos indica que 0 é o menor valor que os elementos de
estão se aproximando, mas nunca vão realmente atingir.
Passo 5
Para mostrar que
, precisamos provar dois pontos:
- 0 é um limite inferior de
: Ou seja, 0 é menor ou igual a todo elemento de . - Nenhum número maior que 0 pode ser um limite inferior de
: Isso garante que 0 é o maior limite inferior possível, ou seja, o ínfimo.
Passo 6
Primeiro, vamos provar que 0 é um limite inferior de
:
- Para todo
, . - Portanto, 0 é menor que ou igual a todos os elementos de
.
Passo 7
Agora, vamos mostrar que nenhum número maior que 0 pode ser um limite inferior de
:
- Suponha que exista um número
que seja também um limite inferior de . - Isso significaria que
para todo . - Porém, podemos escolher
suficientemente grande tal que , o que é uma contradição. - Portanto, não existe nenhum
que seja um limite inferior de .
Passo 8
Como vimos que 0 é um limite inferior de
e que nenhum número maior pode ser um limite inferior, concluímos que 0 é o ínfimo de
.
Resposta
O ínfimo de
é 0.