Se a, b, x e y são números reais com x, y > 0, mostre que
a²/x + b²/y ≥ (a+b)²/(x+y)

Passo 1

Então, a gente tem essa questão que fala que, para números reais e , onde e são maiores que zero, a gente precisa mostrar que:
Vamos usar um conteúdo de desigualdades, especificamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz, para resolver isso. Precisamos entender como aplicar essa desigualdade para chegar à conclusão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que, para quaisquer números reais :
Essa desigualdade vai nos ajudar a relacionar os termos que temos na questão.

Passo 3

Vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz aos termos da nossa expressão. Vamos definir:
Agora, calculamos o produto interno :
E os produtos dos quadrados:

Passo 4

Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 5

Para chegar à forma que queremos, vamos dividir os dois lados da desigualdade por (que é positivo, então a direção da desigualdade se mantém):
Isso é exatamente o que a questão nos pediu para mostrar.

Resposta

Portanto, mostramos que

Exercícios relacionados