Se
e
são números reais
, mostre que
Passo 1
Então, a gente tem essa questão que fala que, para números reais
e
, onde
e
são maiores que zero, a gente precisa mostrar que:
Vamos usar um conteúdo de desigualdades, especificamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz, para resolver isso. Precisamos entender como aplicar essa desigualdade para chegar à conclusão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que, para quaisquer números reais
:
Essa desigualdade vai nos ajudar a relacionar os termos que temos na questão.
Passo 3
Vamos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz aos termos da nossa expressão. Vamos definir:
Agora, calculamos o produto interno
:
E os produtos dos quadrados:
Passo 4
Aplicando a desigualdade de Cauchy-Schwarz:
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Para chegar à forma que queremos, vamos dividir os dois lados da desigualdade por
(que é positivo, então a direção da desigualdade se mantém):
Isso é exatamente o que a questão nos pediu para mostrar.
Resposta
Portanto, mostramos que