Assuma que você resolveu a equação de Schroedinger independente do tempo para uma partícula de massa m presa em uma caixa de tamanho a e encontrou as seguintes soluções:
phin(x)=raiz2a sin (n pi xa), 0
onde n=1,2,3, ldots e as energias associadas a estas soluções são En=2,35 n^2 eV. No instante t=0 você realiza uma medida da energia desta partícula e encontra E=21 eV com uma incerteza experimental de 2 eV .
b) Se não interferimos mais com o estado da partícula após a medida, qual será a sua função de onda para um instante t>0 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula presa em uma “caixinha” e a gente já sabe as soluções para a equação de Schrödinger independente do tempo. A gente precisa descobrir qual é a função de onda da partícula para um tempo depois da medição da energia. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como estados de energia e evolução temporal das funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando você mede a energia de uma partícula e obtém um valor específico, a função de onda dela “colapsa” para um dos estados de energia próprios compatíveis com essa medida. No nosso caso, você mediu uma energia de 21 eV com uma incerteza de 2 eV. Isso significa que a energia real da partícula está entre 19 e 23 eV.

Passo 3

Agora, vamos verificar quais estados de energia $ E_n = 2,35, n^2 $ eV caem nessa faixa de 19 a 23 eV. Vamos calcular para alguns valores de $ n $:
  • Para $ n = 3 $: En = 2,35, n^2
  • Para $ n = 4 $: n
Vemos que apenas $ n = 3 $ está dentro da faixa de 19 a 23 eV. Portanto, após a medição, a partícula está no estado de energia $ n = 3 $.

Passo 4

Sabendo que a função de onda para $ n = 3 $ é:
n = 3
E que a evolução temporal de um estado de energia próprio é dada por multiplicar a função de onda por um fator de fase que depende da energia e do tempo:
phi3(x) = raiz2a sin( 3 pi xa )
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.

Passo 5

Então, para qualquer tempo $ t > 0 $, a função de onda da partícula será simplesmente a função de energia do estado $ n = 3 $ multiplicada por esse fator de fase que conta como a função de onda “gira” no espaço das fases conforme o tempo passa.

Resposta

Para $ t > 0 $, a função de onda da partícula é
t > 0

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