Assuma que você resolveu a equação de Schroedinger independente do tempo para uma partícula de massa
presa em uma caixa de tamanho
e encontrou as seguintes soluções:
onde
e as energias associadas a estas soluções são
. No instante
você realiza uma medida da energia desta partícula e encontra
com uma incerteza experimental de 2 eV .
b) Se não interferimos mais com o estado da partícula após a medida, qual será a sua função de onda para um instante
?
b) Se não interferimos mais com o estado da partícula após a medida, qual será a sua função de onda para um instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma partícula presa em uma “caixinha” e a gente já sabe as soluções para a equação de Schrödinger independente do tempo. A gente precisa descobrir qual é a função de onda da partícula para um tempo depois da medição da energia. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, como estados de energia e evolução temporal das funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando você mede a energia de uma partícula e obtém um valor específico, a função de onda dela “colapsa” para um dos estados de energia próprios compatíveis com essa medida. No nosso caso, você mediu uma energia de 21 eV com uma incerteza de 2 eV. Isso significa que a energia real da partícula está entre 19 e 23 eV.
Passo 3
Agora, vamos verificar quais estados de energia $ E_n = 2,35, n^2 $ eV caem nessa faixa de 19 a 23 eV. Vamos calcular para alguns valores de $ n $:
- Para $ n = 3 $:
- Para $ n = 4 $:
Vemos que apenas $ n = 3 $ está dentro da faixa de 19 a 23 eV. Portanto, após a medição, a partícula está no estado de energia $ n = 3 $.
Passo 4
Sabendo que a função de onda para $ n = 3 $ é:
E que a evolução temporal de um estado de energia próprio é dada por multiplicar a função de onda por um fator de fase que depende da energia e do tempo:
onde $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 5
Então, para qualquer tempo $ t > 0 $, a função de onda da partícula será simplesmente a função de energia do estado $ n = 3 $ multiplicada por esse fator de fase que conta como a função de onda “gira” no espaço das fases conforme o tempo passa.
Resposta
Para $ t > 0 $, a função de onda da partícula é