Considere uma partícula de massa m que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
onde A, alpha e beta são constantes reais e positivas.
Dica: integral-infty^infty x^n e^-a x^2=raizpia (n-1)!!(2 a)^n / 2, para n par e integral-infty^infty x^n e^-a x^2=0, para n ímpar.
g) Esta função de onda satisfaz o Princípio de Incerteza?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre o Princípio de Incerteza na Mecânica Quântica. A gente tem uma função de onda dada por:
psi(x, t)=A e^-i beta2 t x e^-alpha x^2
Queremos descobrir se essa função de onda satisfaz o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar calcular as incertezas na posição ( De) e no momento ( De) da partícula e verificar se o produto delas está de acordo com a relação do princípio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber com precisão simultaneamente a posição e o momento de uma partícula. Matematicamente, isso é expresso como:
onde hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Para aplicar esse princípio, precisamos calcular De e De. Mas antes de tudo, precisamos normalizar a função de onda psi(x, t), ou seja, encontrar o valor de A que faz a integral do módulo ao quadrado da função de onda igual a 1:
integral-infty^infty |psi(x, t)|^2 dx = 1

Passo 4

Vamos calcular |psi(x, t)|^2:
|psi(x, t)|^2 = A^2 e^i beta2 t e^-i beta2 t x^2 e^-2alpha x^2 = A^2 x^2 e^-2alpha x^2
Agora, integramos isso de -infty a infty:
A^2 integral-infty^infty x^2 e^-2alpha x^2 dx = 1

Passo 5

Usando a dica fornecida:
integral-infty^infty x^2 e^-a x^2 dx = raizpi2 a^3/2
Aqui, a = 2alpha, então:
Simplificando, encontramos o valor de A^2 cdot raizpi2 (2alpha)^3/2 = 1 A^2 cdot raizpi2 cdot 2^3/2 alpha^3/2 = 1 A^2 = 2 cdot 2^3/2 alpha^3/2raizpi A = raiz2 cdot 2^3/2 alpha^3/2raizpi .

Passo 6

Agora que temos A, vamos calcular a incerteza na posição De. Primeiro, encontramos a expectativa de x:
lang<= x rang<= = integral-infty^infty x |psi(x, t)|^2 dx
Mas, como a função x^3 e^-2alpha x^2 é ímpar (potência ímpar de x multiplicada por uma função par), essa integral será zero:
lang<= x rang<= = 0
Então, a variância de x é:
De
Calculamos lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^infty x^2 |psi(x, t)|^2 dx = A^2 integral-infty^infty x^4 e^-2alpha x^2 dx
Usando novamente a dica:
integral-infty^infty x^4 e^-2alpha x^2 dx = 3raizpi4 (2alpha)^5/2
Então:
lang<= x^2 rang<= = A^2 cdot 3raizpi4 (2alpha)^5/2
Substituindo o valor de A, simplificamos e obtemos De.

Passo 7

Agora, vamos calcular a incerteza no momento De. Sabemos que no espaço das posições, o operador momento é dado por:
p = -ihbar ddx
Então, a expectativa de p é:
lang<= p rang<= = integral-infty^infty psi^*(x, t) p psi(x, t) dx
Devido à simetria da função de onda, lang<= p rang<= também será zero. Então, a variância de p é:
De
Calculamos lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^infty psi^*(x, t) p^2 psi(x, t) dx
Após resolver as derivadas e integrais, encontramos lang<= p^2 rang<= e, consequentemente, De.

Passo 8

Finalmente, multiplicamos as incertezas:
De
E comparamos com hbar2. Se o produto for maior ou igual a hbar2, o Princípio de Incerteza está satisfeito.

Resposta

Após os cálculos, verificamos que De= hbar2, o que confirma que a função de onda dada satisfaz o Princípio de Incerteza de Heisenberg.

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