Considere uma partícula de massa
que se encontra em um estado descrito pela função de onda:
onde
e
são constantes reais e positivas.
Dica:
, para
par e
, para
ímpar.
g) Esta função de onda satisfaz o Princípio de Incerteza?
Dica:
g) Esta função de onda satisfaz o Princípio de Incerteza?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre o Princípio de Incerteza na Mecânica Quântica. A gente tem uma função de onda dada por:
Queremos descobrir se essa função de onda satisfaz o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Para isso, vamos precisar calcular as incertezas na posição (
) e no momento (
) da partícula e verificar se o produto delas está de acordo com a relação do princípio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Ele diz que não dá para saber com precisão simultaneamente a posição e o momento de uma partícula. Matematicamente, isso é expresso como:
onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Para aplicar esse princípio, precisamos calcular
e
. Mas antes de tudo, precisamos normalizar a função de onda
, ou seja, encontrar o valor de
que faz a integral do módulo ao quadrado da função de onda igual a 1:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, integramos isso de
a
:
Passo 5
Usando a dica fornecida:
Aqui,
, então:
Simplificando, encontramos o valor de
.
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular a incerteza na posição
. Primeiro, encontramos a expectativa de
:
Mas, como a função
é ímpar (potência ímpar de
multiplicada por uma função par), essa integral será zero:
Então, a variância de
é:
Calculamos
:
Usando novamente a dica:
Então:
Substituindo o valor de
, simplificamos e obtemos
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a incerteza no momento
. Sabemos que no espaço das posições, o operador momento é dado por:
Então, a expectativa de
é:
Devido à simetria da função de onda,
também será zero. Então, a variância de
é:
Calculamos
:
Após resolver as derivadas e integrais, encontramos
e, consequentemente,
.
Passo 8
Finalmente, multiplicamos as incertezas:
E comparamos com
. Se o produto for maior ou igual a
, o Princípio de Incerteza está satisfeito.
Resposta
Após os cálculos, verificamos que
, o que confirma que a função de onda dada satisfaz o Princípio de Incerteza de Heisenberg.