Assumamos em um primeiro momento que mu(v)=0.1, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade v do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de 5 m / s.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade, v(t), do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um bloco que está sendo empurrado com uma velocidade inicial de . O coeficiente de atrito entre o bloco e a superfície é , e esse coeficiente não depende da velocidade do bloco. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão que nos diga qual será a velocidade do bloco em qualquer instante de tempo , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que está acontecendo com o bloco. Quando você empurra o bloco e o solta, ele começa a se mover devido à velocidade inicial. No entanto, existe uma força de atrito que age contra o movimento, desacelerando o bloco até que ele pare.

Passo 3

A força de atrito ( Fatrito = mu cdot N ) pode ser calculada usando a fórmula:
onde é a força normal. Em uma superfície horizontal sem inclinação, a força normal é igual ao peso do bloco, ou seja, , onde é a massa do bloco e é a aceleração da gravidade ( ).

Passo 4

Substituindo Fatrito = mu cdot m cdot g na fórmula da força de atrito, temos:
Essa força de atrito é a única força horizontal atuando sobre o bloco, causando sua desaceleração.

Passo 5

De acordo com a segunda lei de Newton, a força resultante ( Fresu) é igual à massa vezes a aceleração ( mu cdot m cdot g = m cdot a ):
mu cdot g = a
Como a única força horizontal é o atrito, podemos escrever:
a = mu cdot g
Simplificando a = -mu cdot g dos dois lados:
Então, a aceleração é:
Mas como essa força está agindo contra o movimento, a aceleração é negativa:

Passo 6

Agora, sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
dvdt = -mu cdot g
Para encontrar a velocidade em função do tempo, integramos essa equação:
integral dv = integral -mu cdot g , dt
Integrando ambos os lados:
v(t) = -mu cdot g cdot t + C
onde é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar a constante 5 = -mu cdot g cdot 0 + C implies C = 5 , usamos a condição inicial que nos foi dada: no instante , a velocidade :

Passo 8

Substituindo v(t) = 5 - mu cdot g cdot t na expressão da velocidade, temos:
Essa é a expressão analítica para a velocidade do bloco em qualquer instante de tempo .

Resposta

A velocidade do bloco em função do tempo é dada por:
v(t) = 5, m/s - 0,1 cdot 9,81, m/s^2 cdot t
Ou simplificando:
v(t) = 5 - 0,981, t m/s

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