Encontre o campo elétrico dentro do cilindro isolante para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o campo elétrico dentro de um cilindro isolante no ponto onde a distância radial
. Vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa da eletrostática para calcular campos elétricos em situações com alta simetria, como cilindros.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total que sai de uma superfície fechada é igual à carga líquida dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
). Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Como estamos lidando com um cilindro, a simetria sugere que o campo elétrico
depende apenas da distância radial
e aponta radialmente para fora ou para dentro do cilindro. Então, podemos escolher uma superfície gaussiana que seja um cilindro concêntrico com o cilindro dado, de raio
e comprimento
.
Passo 4
Calculando o fluxo elétrico
através da superfície gaussiana. Como o campo elétrico é radial e constante em magnitude na superfície, o fluxo elétrico é:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a carga interna
dentro da superfície gaussiana. Se a densidade de carga volumétrica do cilindro for
, então:
Passo 6
Substituindo
e
na Lei de Gauss:
Passo 7
Simplificando a equação, as áreas
e o comprimento
se cancelam:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico dentro do cilindro isolante para
é:
Onde
é a densidade de carga do cilindro e
é a permissividade do vácuo (
).
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é
.
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;
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.
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.
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(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade,