Assumamos em um primeiro momento que
, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade
do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de
.
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
numericamente entre os instant
e
- adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de
Use o programa para traçar
e compare com sua solução analítica.
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre movimentos com atrito e quer resolver usando o método de Euler-Cromer. A gente vai precisar entender um pouco sobre física (movimento com força de atrito) e matemática (método numérico de Euler-Cromer). Basicamente, vamos calcular como a velocidade do bloco muda com o tempo considerando o atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de atrito
pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é o coeficiente de atrito, -
é a massa do bloco, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como a força de atrito depende apenas da constante
e não da velocidade, a aceleração
do bloco será:
Note que a aceleração será negativa porque o atrito está desacelerando o bloco.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de Euler-Cromer. Esse método é uma forma de resolver numericamente equações diferenciais. A ideia é atualizar a velocidade e a posição em pequenos intervalos de tempo
.
A fórmula para atualizar a velocidade é:
Passo 5
Vamos definir os parâmetros do problema:
- Velocidade inicial
- Tempo inicial
- Tempo final
- Intervalo de tempo
Passo 6
Agora, vamos iterar o processo:
-
Começamos com
. -
Para cada passo de tempo
, calculamos a nova velocidade usando a fórmula de Euler-Cromer: (Subtraímos porque a aceleração é negativa.) -
Repetimos esse cálculo até chegar em
.
Passo 7
Vamos fazer algumas contas rápidas. A aceleração é:
Então, a cada intervalo de
, a velocidade diminui:
Passo 8
Para simplificar, podemos calcular a velocidade após cada segundo:
Substituindo os valores:
Passo 9
Usando o método de Euler-Cromer com
, vamos atualizar a velocidade em cada passo. Por exemplo:
- Em
:
- Em
:
E assim por diante, até
.
Passo 10
Após calcular todos os passos, você pode plotar os valores de
em um gráfico usando um programa como Excel, Python ou qualquer outra ferramenta de plotagem. A solução analítica que obtivemos é uma linha reta decrescente.
Resposta
Usando o método de Euler-Cromer com
, a velocidade
do bloco entre
e
diminui linearmente conforme
. A plotagem de
confirma que a solução numérica coincide com a solução analítica.
Exercícios relacionados
Assumamos em um primeiro momento que
, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade
do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de
.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade, , do bloco.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade,
Mostre que a razão da atração atmosférica para a atração gravitacional entre um eletron e próton é independente da distancia entre eles e calcule essa razão. Dados: G
;
; Massa do próton
; Massa do elétron
; Modulo de carga do elétron
.
Assumamos em um primeiro momento que
, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade
do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de
.
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
(
pontos) Um bloco está deslizando sobre uma superfície, movendo-se com uma velocidade
na direção positiva de
. As forças resultantes das interações com a superfície resultam em uma aceleração descrita por
em que
é a aceleração da gravidade e
é o coeficiente de atrito.
Parte I: Assumamos em um primeiro momento que , ou seja, que o coeficiente de atrito não depende da velocidade
do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos com uma velocidade de
.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade, , do bloco.
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre numericamente entre os instantes
e
- adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de
. Use o programa para traçar
e compare com sua solução analítica.
Parte II: A descrição do atrito fornecida acima é muito simplificada. O coeficiente de atrito geralmente não é independente da velocidade. Para o atrito seco, o coeficiente de atrito pode, para baixas velocidades, ser aproximado pela seguinte fórmula:
Parte I: Assumamos em um primeiro momento que
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade,
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
Parte II: A descrição do atrito fornecida acima é muito simplificada. O coeficiente de atrito geralmente não é independente da velocidade. Para o atrito seco, o coeficiente de atrito pode, para baixas velocidades, ser aproximado pela seguinte fórmula:
em que
é frequentemente chamado de (d) Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
numericamente entre os instantes
e
para este modelo mais realista - adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de
. Use o programa para traçar
e compare com seus resultados anteriores. Seus novos resultados são razoáveis? Explique. Use um espaçamento entre dois instantes consecutivos de
.
Observação. A aceleração é definida por um sentença condicional. Em Python, escreve-se:
if v[i] > 0:
Observação. A aceleração é definida por um sentença condicional. Em Python, escreve-se:
if v[i] > 0:
código a ser executado se a condição for verdadeira
else: