Assumamos em um primeiro momento que
, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade
do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de
.
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
numericamente entre os instant
e
- adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de
Use o programa para traçar
e compare com sua solução analítica.
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre movimentos com atrito e quer resolver usando o método de Euler-Cromer. A gente vai precisar entender um pouco sobre física (movimento com força de atrito) e matemática (método numérico de Euler-Cromer). Basicamente, vamos calcular como a velocidade do bloco muda com o tempo considerando o atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força de atrito
pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é o coeficiente de atrito, -
é a massa do bloco, -
é a aceleração da gravidade.
Passo 3
Como a força de atrito depende apenas da constante
e não da velocidade, a aceleração
do bloco será:
Note que a aceleração será negativa porque o atrito está desacelerando o bloco.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método de Euler-Cromer. Esse método é uma forma de resolver numericamente equações diferenciais. A ideia é atualizar a velocidade e a posição em pequenos intervalos de tempo
.
A fórmula para atualizar a velocidade é:
Passo 5
Vamos definir os parâmetros do problema:
- Velocidade inicial
- Tempo inicial
- Tempo final
- Intervalo de tempo
Passo 6
Agora, vamos iterar o processo:
-
Começamos com
. -
Para cada passo de tempo
, calculamos a nova velocidade usando a fórmula de Euler-Cromer: (Subtraímos porque a aceleração é negativa.) -
Repetimos esse cálculo até chegar em
.
Passo 7
Vamos fazer algumas contas rápidas. A aceleração é:
Então, a cada intervalo de
, a velocidade diminui:
Passo 8
Para simplificar, podemos calcular a velocidade após cada segundo:
Substituindo os valores:
Passo 9
Usando o método de Euler-Cromer com
, vamos atualizar a velocidade em cada passo. Por exemplo:
- Em
:
- Em
:
E assim por diante, até
.
Passo 10
Após calcular todos os passos, você pode plotar os valores de
em um gráfico usando um programa como Excel, Python ou qualquer outra ferramenta de plotagem. A solução analítica que obtivemos é uma linha reta decrescente.
Resposta
Usando o método de Euler-Cromer com
, a velocidade
do bloco entre
e
diminui linearmente conforme
. A plotagem de
confirma que a solução numérica coincide com a solução analítica.