Assumamos em um primeiro momento que mu(v)=0.1, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade v do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de 5 m / s.
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre v(t) numericamente entre os instant t0=0 s e tf=6 s - adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de De Use o programa para traçar v(t) e compare com sua solução analítica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um exercício sobre movimentos com atrito e quer resolver usando o método de Euler-Cromer. A gente vai precisar entender um pouco sobre física (movimento com força de atrito) e matemática (método numérico de Euler-Cromer). Basicamente, vamos calcular como a velocidade do bloco muda com o tempo considerando o atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de atrito Fatrito = mu cdot m cdot g pode ser calculada pela fórmula:
onde:
  • é o coeficiente de atrito,
  • é a massa do bloco,
  • é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Como a força de atrito depende apenas da constante a = Fatritom = mu cdot g e não da velocidade, a aceleração do bloco será:
Note que a aceleração será negativa porque o atrito está desacelerando o bloco.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de Euler-Cromer. Esse método é uma forma de resolver numericamente equações diferenciais. A ideia é atualizar a velocidade e a posição em pequenos intervalos de tempo vnovo = vantigo + a cdot De.
A fórmula para atualizar a velocidade é:

Passo 5

Vamos definir os parâmetros do problema:
  • Velocidade inicial
  • Tempo inicial
  • Tempo final
  • Intervalo de tempo

Passo 6

Agora, vamos iterar o processo:
  1. Começamos com v(t + De.
  2. Para cada passo de tempo , calculamos a nova velocidade usando a fórmula de Euler-Cromer:
    (Subtraímos porque a aceleração é negativa.)
  3. Repetimos esse cálculo até chegar em .

Passo 7

Vamos fazer algumas contas rápidas. A aceleração é:
a = -mu cdot g = -0.1 cdot 9.81 = -0.981 , m/s^2
Então, a cada intervalo de De, a velocidade diminui:

Passo 8

Para simplificar, podemos calcular a velocidade após cada segundo:
v(t) = v0 + a cdot t
Substituindo os valores:
v(t) = 5 - 0.981 cdot t

Passo 9

Usando o método de Euler-Cromer com v(0.01) = 5 - 0.00981 = 4.99019 , m/s , vamos atualizar a velocidade em cada passo. Por exemplo:
  • Em v(0.02) = 4.99019 - 0.00981 = 4.98038 , m/s :
  • Em :
E assim por diante, até .

Passo 10

Após calcular todos os passos, você pode plotar os valores de em um gráfico usando um programa como Excel, Python ou qualquer outra ferramenta de plotagem. A solução analítica que obtivemos é uma linha reta decrescente.

Resposta

Usando o método de Euler-Cromer com , a velocidade do bloco entre e diminui linearmente conforme . A plotagem de confirma que a solução numérica coincide com a solução analítica.

Exercícios relacionados

Assumamos em um primeiro momento que mu(v)=0.1, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade v do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de 5 m / s.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade, v(t), do bloco.
Mostre que a razão da atração atmosférica para a atração gravitacional entre um eletron e próton é independente da distancia entre eles e calcule essa razão. Dados: G =6,67 times 10^-11 N^* m^2 / kg^2; k=9 times 10^9 N m^2 / C^2; Massa do próton 1,6 times 10^-27 kg; Massa do elétron 1,610^-31 kg; Modulo de carga do elétron 1,6 times 10^-19 C.
Assumamos em um primeiro momento que mu(v)=0.1, ou seja, que o coeficiente atrito não depende da velocidade v do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos co uma velocidade de 5 m / s.
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
( 4 , 0 pontos) Um bloco está deslizando sobre uma superfície, movendo-se com uma velocidade v na direção positiva de x. As forças resultantes das interações com a superfície resultam em uma aceleração descrita por
a=ccc -mu(v) g & se & v>0 0 & se & v=0
em que g=9,8 m / s^2 é a aceleração da gravidade e mu(v) é o coeficiente de atrito.
Parte I: Assumamos em um primeiro momento que mu(v)=0.1, ou seja, que o coeficiente de atrito não depende da velocidade v do bloco. Damos um empurrão no bloco e o soltamos com uma velocidade de 5 m / s.
(a) Encontre uma expressão analítica para a velocidade, v(t), do bloco.
(b) Quanto tempo leva até o bloco parar?
© Empregando o método de Euler-Cromer, encontre v(t) numericamente entre os instantes t0=0 s e tf=6 s - adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de De. Use o programa para traçar v(t) e compare com sua solução analítica.
Parte II: A descrição do atrito fornecida acima é muito simplificada. O coeficiente de atrito geralmente não é independente da velocidade. Para o atrito seco, o coeficiente de atrito pode, para baixas velocidades, ser aproximado pela seguinte fórmula:
mu(v)=mud+mus-mud1+v / v^*
em que mud=0,1 é frequentemente chamado de (d) Empregando o método de Euler-Cromer, encontre v(t) numericamente entre os instantes t0=0 s e tf=6 s para este modelo mais realista - adote um espaçamento entre dois instantes consecutivos de De. Use o programa para traçar v(t) e compare com seus resultados anteriores. Seus novos resultados são razoáveis? Explique. Use um espaçamento entre dois instantes consecutivos de De.
Observação. A aceleração é definida por um sentença condicional. Em Python, escreve-se:
if v[i] > 0:

código a ser executado se a condição for verdadeira

else:

código a ser executado se a condição for falsa