Assume the closed-loop system of Fig. 5.61 has a feedforward transfer function G(s) given by
G(s)=Ks(s+2)
Design a lag compensation so that the dominant poles of the closed-loop system are located at s=-1 pm j and the steady-state error to a unit ramp input is less than 0.2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem um sistema de malha fechada com uma função de transferência de alimentação direta . A missão aqui é projetar um compensador de atraso (lag compensator) para que os pólos dominantes do sistema estejam em e que o erro em regime permanente para uma entrada rampa unitária seja menor que 0,2. Vamos usar conceitos de controle de sistemas, como posicionamento de pólos e análise de erro em regime permanente, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter póolos dominantes em . Isso define a dinâmica do sistema, como a rapidez da resposta e o amortecimento. Queremos que nosso sistema tenha esses póolos, então precisamos ajustar a função de transferência fechada para posicionar os póolos nesse lugar.

Passo 3

A função de transferência em malha fechada sem o compensador é dada por:
T(s) = G(s)1 + G(s)
Substituindo T(s) = Ks(s+2)1 + Ks(s+2) = Ks(s+2) + K :
Queremos que os póolos de sejam . Vamos encontrar o valor de que satisfaz essa condição.

Passo 4

Os póolos desejados s(s+2) + K = s^2 + 2s + K = 0 têm uma parte real de -1 e uma parte imaginária de 1. Podemos escrever a equação característica do denominador de s^2 + 2s + K = (s + 1 - j)(s + 1 + j) = s^2 + 2s + 2 :
Igualando aos póolos desejados:
Comparando os termos, vemos que .

Passo 5

Agora que sabemos que ess = 1Kv , vamos verificar o erro em regime permanente para uma entrada rampa. O erro de regime permanente para uma rampa é dado por:
Onde é a constante de velocidade, definida como , com sendo a função de transferência em malha fechada.

Passo 6

Calculando Gcl(s) = G(s)1 + G(s) = 2s(s+2)1 + 2s(s+2) = 2s^2 + 2s + 2 :
Kv = lims to 0 s cdot 2s^2 + 2s + 2 = 2 cdot 00 + 0 + 2 = 0
Observamos que , o que resultaria em infinito, muito acima do desejado. Isso indica que precisamos de um compensador que aumente .

Passo 7

Para aumentar C(s) = (s + z)(s + p) , vamos projetar um compensador de atraso (lag compensator) que adiciona um ganho DC ao sistema sem alterar significativamente a dinâmica em alta frequência. O compensador tem a forma:
Onde , para garantir a ação de atraso.

Passo 8

Com o compensador, a nova função de transferência de malha fechada será:
T(s) = C(s)G(s)1 + C(s)G(s)
Queremos que 1Kv < 0,2 Rightarrow Kv > 5 seja tal que C(s)G(s) = (s + z)(s + p) cdot 2s(s+2) , ou seja:
Kv = lims to 0 s cdot 2(s + z)(s + p)s(s + 2) = lims to 0 2(s + z)(s + p)(s + 2) = 2zp cdot 2 = zp
Vamos calcular com o compensador:
Queremos , então .

Passo 9

Escolhemos C(s) = s + 1s + 15 = s + 1s + 0,2 (ponto conveniente), então . Portanto, o compensador fica:

Resposta

O compensador de atraso projetado é:
C(s) = s + 1s + 0,2
Com esse compensador, os pólos dominantes do sistema fechada estarão em e o erro em regime permanente para uma entrada rampa unitária será menor que 0,2.

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