Assume the closed-loop system of Fig. 5.61 has a feedforward transfer function
given by
Design a lag compensation so that the dominant poles of the closed-loop system are located at
and the steady-state error to a unit ramp input is less than 0.2.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício juntos! A gente tem um sistema de malha fechada com uma função de transferência de alimentação direta
. A missão aqui é projetar um compensador de atraso (lag compensator) para que os pólos dominantes do sistema estejam em
e que o erro em regime permanente para uma entrada rampa unitária seja menor que 0,2. Vamos usar conceitos de controle de sistemas, como posicionamento de pólos e análise de erro em regime permanente, para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter póolos dominantes em
. Isso define a dinâmica do sistema, como a rapidez da resposta e o amortecimento. Queremos que nosso sistema tenha esses póolos, então precisamos ajustar a função de transferência fechada para posicionar os póolos nesse lugar.
Passo 3
A função de transferência em malha fechada sem o compensador é dada por:
Substituindo
:
Queremos que os póolos de
sejam
. Vamos encontrar o valor de
que satisfaz essa condição.
Passo 4
Os póolos desejados
têm uma parte real de -1 e uma parte imaginária de 1. Podemos escrever a equação característica do denominador de
:
Igualando aos póolos desejados:
Comparando os termos, vemos que
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos verificar o erro em regime permanente para uma entrada rampa. O erro de regime permanente para uma rampa é dado por:
Onde
é a constante de velocidade, definida como
, com
sendo a função de transferência em malha fechada.
Passo 6
Calculando
:
Observamos que
, o que resultaria em
infinito, muito acima do desejado. Isso indica que precisamos de um compensador que aumente
.
Passo 7
Para aumentar
, vamos projetar um compensador de atraso (lag compensator) que adiciona um ganho DC ao sistema sem alterar significativamente a dinâmica em alta frequência. O compensador tem a forma:
Onde
, para garantir a ação de atraso.
Passo 8
Com o compensador, a nova função de transferência de malha fechada será:
Queremos que
seja tal que
, ou seja:
Vamos calcular
com o compensador:
Queremos
, então
.
Passo 9
Escolhemos
(ponto conveniente), então
. Portanto, o compensador fica:
Resposta
O compensador de atraso projetado é:
Com esse compensador, os pólos dominantes do sistema fechada estarão em
e o erro em regime permanente para uma entrada rampa unitária será menor que 0,2.
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e uma densidade volumétrica de carga
. a) Calcule o valor do campo elétrico e b) do potencial elétrico a uma distância de
do seu centro.
Considere o sistema em malha aberta abaixo:
Encontre valores para
e
tais que o sistema em malha apresente
0,707 .
Para um sistema de realimentação unitária e negativa,
determine os valores de K e
, que produza um par de pólos em malha fechada de
A numerically controlled machine tool has a transfer function given by
Performance specifications require that, in the unity feedback configuration of Fig. 5.6.1, the closed-loop poles be located at
.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing .
b) Design a lead compensator that will meet the specification.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing
b) Design a lead compensator that will meet the specification.