Uma esfera feita de uma material isolante possui um raio e uma densidade volumétrica de carga . a) Calcule o valor do campo elétrico e b) do potencial elétrico a uma distância de do seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera isolante com raio e uma densidade volumétrica de carga . Queremos calcular duas coisas: a) o campo elétrico a uma distância do centro da esfera, e b) o potencial elétrico nessa mesma distância. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e alguns conceitos de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como é menor que o raio da esfera ( ), estamos falando de um ponto dentro da esfera carregada. Para encontrar o campo elétrico nesse ponto, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar campos elétricos com simetrias específicas.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que:
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana, e é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 4

Como a distribuição de carga é uniforme, a carga dentro de uma esfera de raio é proporcional ao volume dessa esfera. Então, a carga encapsulada é:
Substituindo (convertendo de para ):

Passo 5

Agora, como a superfície gaussiana é uma esfera de raio , a integral da Lei de Gauss fica:
Simplificando para encontrar :

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
Calculando:

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial elétrico a . O potencial dentro de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Isso vem da integração do campo elétrico.

Passo 8

Substituindo os valores:
Calculando os termos:

Resposta

a) O campo elétrico a do centro é aproximadamente .
b) O potencial elétrico nessa mesma distância é aproximadamente .

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(e)
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