Uma esfera feita de uma material isolante possui um raio R=0,50 cm e uma densidade volumétrica de carga rho=3,50 mu C / m^3. a) Calcule o valor do campo elétrico e b) do potencial elétrico a uma distância de r=0,30 cm do seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera isolante com raio e uma densidade volumétrica de carga . Queremos calcular duas coisas: a) o campo elétrico a uma distância do centro da esfera, e b) o potencial elétrico nessa mesma distância. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e alguns conceitos de eletrostática.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como é menor que o raio da esfera ( ), estamos falando de um ponto dentro da esfera carregada. Para encontrar o campo elétrico nesse ponto, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar campos elétricos com simetrias específicas.

Passo 3

A Lei de Gauss diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana, e é a permissividade do vácuo ( ).

Passo 4

Como a distribuição de carga é uniforme, a carga dentro de uma esfera de raio Qenc = rho cdot V = rho cdot 43pi r^3 é proporcional ao volume dessa esfera. Então, a carga encapsulada é:
Substituindo (convertendo de para ):

Passo 5

Agora, como a superfície gaussiana é uma esfera de raio E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi r^3varepsilon0 , a integral da Lei de Gauss fica:
E = rho r3 varepsilon0
Simplificando para encontrar :

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
E = 3,50 times 10^-6 , C/m^3 times 0,0030 , m3 times 8,85 times 10^-12 , C^2/Ncdotm^2
Calculando:
E approx 1,05 times 10^-82,655 times 10^-11 approx 396 , N/C

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r) = rho6 varepsilon0 (3R^2 - r^2) a . O potencial dentro de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Isso vem da integração do campo elétrico.

Passo 8

Substituindo os valores:
V(0,0030 , m) = 3,50 times 10^-66 times 8,85 times 10^-12 (3 times (0,0050)^2 - (0,0030)^2)
Calculando os termos:
V approx 3,50 times 10^-65,31 times 10^-11 (3 times 2,5 times 10^-5 - 9 times 10^-6)
V approx 6,59 times 10^4 times (7,5 times 10^-5 - 9 times 10^-6) approx 6,59 times 10^4 times 6,6 times 10^-5 approx 4,35 , kV

Resposta

a) O campo elétrico a do centro é aproximadamente .
b) O potencial elétrico nessa mesma distância é aproximadamente .

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