Uma esfera feita de uma material isolante possui um raio
e uma densidade volumétrica de carga
. a) Calcule o valor do campo elétrico e b) do potencial elétrico a uma distância de
do seu centro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera isolante com raio
e uma densidade volumétrica de carga
. Queremos calcular duas coisas: a) o campo elétrico a uma distância
do centro da esfera, e b) o potencial elétrico nessa mesma distância. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss e alguns conceitos de eletrostática.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como
é menor que o raio da esfera (
), estamos falando de um ponto dentro da esfera carregada. Para encontrar o campo elétrico
nesse ponto, usamos a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar campos elétricos com simetrias específicas.
Passo 3
A Lei de Gauss diz que:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície gaussiana, e
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 4
Como a distribuição de carga é uniforme, a carga dentro de uma esfera de raio
é proporcional ao volume dessa esfera. Então, a carga encapsulada
é:
Substituindo
(convertendo de
para
):
Passo 5
Agora, como a superfície gaussiana é uma esfera de raio
, a integral da Lei de Gauss fica:
Simplificando para encontrar
:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos:
Calculando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
a
. O potencial dentro de uma esfera carregada uniformemente é dado por:
Isso vem da integração do campo elétrico.
Passo 8
Substituindo os valores:
Calculando os termos:
Resposta
a) O campo elétrico a
do centro é aproximadamente
.
b) O potencial elétrico nessa mesma distância é aproximadamente .
b) O potencial elétrico nessa mesma distância é aproximadamente