Para um sistema de realimentação unitária e negativa, com G(s)= K(s+alpha)s(s+1) determine os valores de K e alpha, que produza um par de pólos em malha fechada de s= -1 pm 100 j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos os valores de e em um sistema de realimentação unitária negativa com a função de transferência . Queremos que os polos em malha fechada sejam . Para resolver isso, vamos usar conceitos de controle de sistemas, especificamente a análise de polos de sistemas em malha fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema de realimentação negativa unitária, a função de transferência em malha fechada é dada por:
T(s) = G(s)1 + G(s)
Os polos do sistema em malha fechada são as raízes do denominador dessa expressão, ou seja, as soluções da equação .

Passo 3

Vamos substituir 1 + K(s + alpha)s(s + 1) = 0 na equação s(s + 1) + K(s + alpha) = 0 :
s^2 + s + Ks + Kalpha = 0
Multiplicando ambos os lados por s^2 + (1 + K)s + Kalpha = 0 para eliminar o denominador:
Expandindo:
Agrupando os termos similares:
Essa é a equação característica do sistema em malha fechada.

Passo 4

Sabemos que os polos desejados são (s + 1)^2 + (100)^2 = 0 . Podemos escrever a equação característica correspondente a esses polos:
s^2 + 2s + 1 + 10000 = 0
Expandindo:
s^2 + 2s + 10001 = 0
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes das duas equações características:
s^2 + (1 + K)s + Kalpha = s^2 + 2s + 10001
Isso nos dá o sistema:
1 + K = 2 Kalpha = 10001

Passo 6

Resolvendo a primeira equação para 1 + K = 2 K = 1 :
1 cdot alpha = 10001 alpha = 10001
Agora, substituindo na segunda equação:

Resposta

Os valores são e .

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