A numerically controlled machine tool has a transfer function given by
Performance specifications require that, in the unity feedback configuration of Fig. 5.6.1, the closed-loop poles be located at
.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing
.
b) Design a lead compensator that will meet the specification.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing
b) Design a lead compensator that will meet the specification.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina controlada numericamente com a função de transferência
. A questão pede para a gente ajustar o sistema de controle em malha fechada de forma que os polos fechados estejam em
. Primeiro, vamos ver na parte a) por que não dá para alcançar isso apenas escolhendo
, que é um controlador proporcional simples. Depois, na parte b), vamos desenhar um compensador lead para atingir a especificação. Para isso, vamos precisar lembrar de conceitos de controle de sistemas, como polos de malha fechada e compensação.
Passo 2
Parte a)
Primeiro, vamos entender o que significa escolher
. Isso significa que estamos usando um controlador proporcional, onde
é apenas um ganho constante. No controle em malha fechada, a função de transferência fechada
fica:
Substituindo
:
Para encontrar os polos da malha fechada, precisamos encontrar as raízes do denominador
, ou seja:
Queremos que os polos estejam em
, que correspondem a um par conjugado com parte real -1 e imaginária
. A equação característica desejada é:
Comparando com
, percebemos que:
Além disso, sabemos que para
, temos:
Então, substituindo
:
Agora, vamos verificar se com
conseguimos os polos
. Substituindo na equação característica:
Calculando os polos:
Isso resulta em
, que claramente não é igual a
. Portanto, não conseguimos alcançar os polos desejados apenas ajustando
.
Resposta
Não é possível alcançar a especificação dos polos
apenas escolhendo
, pois o controlador proporcional resulta em polos diferentes dos desejados.
Exercícios relacionados
Para um sistema de realimentação unitária e negativa,
determine os valores de K e
, que produza um par de pólos em malha fechada de
Assume the closed-loop system of Fig. 5.61 has a feedforward transfer function
given by
Design a lag compensation so that the dominant poles of the closed-loop system are located at
and the steady-state error to a unit ramp input is less than 0.2.
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Determinar o ganho
quando as raizes complexas têm um valor de
igual a 0,8.
Considera o sistema em malha aberta:
Especificaões:
(tempo de pico) e
(sobressinal).
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.
Determine se é possível encontrar um K tal que o sistema em malha fechada satisfaça as duas especificações simultaneamente. Caso contrário escolha uma e encontra o K.