A numerically controlled machine tool has a transfer function given by
G(s)=1s(s+1)
Performance specifications require that, in the unity feedback configuration of Fig. 5.6.1, the closed-loop poles be located at s=-1 pm j raiz3.
a) Show that this specification cannot be achieved by choosing D(s)=K.
b) Design a lead compensator that will meet the specification.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina controlada numericamente com a função de transferência . A questão pede para a gente ajustar o sistema de controle em malha fechada de forma que os polos fechados estejam em . Primeiro, vamos ver na parte a) por que não dá para alcançar isso apenas escolhendo , que é um controlador proporcional simples. Depois, na parte b), vamos desenhar um compensador lead para atingir a especificação. Para isso, vamos precisar lembrar de conceitos de controle de sistemas, como polos de malha fechada e compensação.

Passo 2

Parte a)
Primeiro, vamos entender o que significa escolher T(s) = K G(s)1 + K G(s) . Isso significa que estamos usando um controlador proporcional, onde T(s) = K cdot 1s(s+1)1 + K cdot 1s(s+1) = Ks(s+1) + K é apenas um ganho constante. No controle em malha fechada, a função de transferência fechada s^2 + s + K = 0 fica:
s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 = 0
Substituindo 2zetaomegan = 1 e omegan^2 = K :
omegan = 2 e zeta = 12
Para encontrar os polos da malha fechada, precisamos encontrar as raízes do denominador K = omegan^2 = 4 , ou seja:
s^2 + s + 4 = 0
Queremos que os polos estejam em s = -1 pm raiz1 - 162 = -1 pm jraiz152 , que correspondem a um par conjugado com parte real -1 e imaginária . A equação característica desejada é:
Comparando com , percebemos que:
Além disso, sabemos que para , temos:
Então, substituindo :
Agora, vamos verificar se com conseguimos os polos . Substituindo na equação característica:
Calculando os polos:
Isso resulta em , que claramente não é igual a . Portanto, não conseguimos alcançar os polos desejados apenas ajustando .

Resposta

Não é possível alcançar a especificação dos polos apenas escolhendo , pois o controlador proporcional resulta em polos diferentes dos desejados.

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