Considere o sistema em malha aberta abaixo:
G(s)=Ks(s+a)
Encontre valores para K e a tais que o sistema em malha apresente Kv=20 s^-1 e zeta= 0,707 .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema em malha aberta com a função de transferência:
G(s) = Ks(s + a)
Precisamos encontrar os valores de e de forma que, quando o sistema estiver em malha fechada, ele apresente:
  • Constante de erro de velocidade
  • Fator de amortecimento
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de controle, como função de transferência em malha fechada, constantes de erro e fator de amortecimento.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função de transferência em malha aberta T(s) = G(s)1 + G(s) para malha fechada. A função de transferência em malha fechada T(s) = Ks(s + a)1 + Ks(s + a) = Ks(s + a) + K é dada por:
T(s) = Ks^2 + a s + K
Substituindo :
Simplificando o denominador:

Passo 3

Agora, precisamos relacionar a constante de erro de velocidade Kv = lims to 0 s G(s) com a função de transferência do sistema. A constante de erro de velocidade é definida como:
Kv = lims to 0 s cdot Ks(s + a) = lims to 0 Ks + a = Ka
Substituindo Ka = 20 :
K = 20a (1)
Queremos que , então:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 4

Agora, vamos considerar o fator de amortecimento T(s) = omegan^2s^2 + 2zetaomegan s + omegan^2 . Para um sistema de segunda ordem da forma:
T(s) = Ks^2 + a s + K
Onde 2zetaomegan = a omegan^2 = K é a frequência natural e é o fator de amortecimento.
Comparando com a nossa função de transferência em malha fechada:
Podemos identificar:

Passo 5

Sabemos que 2zetaraizK = a . Substituindo na primeira equação:
2 times 0,707 times raizK = a 1,414 times raizK = a (2)
Dado que :

Passo 6

Agora, temos duas equações:
  1. 20a = K a = 1,414 times raiz20a (da constante de erro)
  2. raizK = raiz20a (do fator de amortecimento)
Vamos substituir a equação (1) na equação (2):
a = 1,414 times raiz20a
Primeiro, expressamos :
Substituindo na equação (2):

Passo 7

Vamos resolver a equação:
a = 1,414 times raiz20a Rightarrow a1,414 = raiz20a Rightarrow (a1,414)^2 = 20a Rightarrow a^22 = 20a Rightarrow a^2 = 40a Rightarrow a^2 - 40a = 0 Rightarrow a(a - 40) = 0
Isso nos dá duas soluções: a = 40 ou K = 20a = 20 times 40 = 800 . Como não faz sentido no contexto do sistema, temos:
Substituindo na equação (1):

Resposta

Os valores que satisfazem as condições são:

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