Considere o sistema em malha aberta abaixo:
Encontre valores para
e
tais que o sistema em malha apresente
0,707 .
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos um sistema em malha aberta com a função de transferência:
Precisamos encontrar os valores de
e
de forma que, quando o sistema estiver em malha fechada, ele apresente:
- Constante de erro de velocidade
- Fator de amortecimento
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de sistemas de controle, como função de transferência em malha fechada, constantes de erro e fator de amortecimento.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a função de transferência em malha aberta
para malha fechada. A função de transferência em malha fechada
é dada por:
Substituindo
:
Simplificando o denominador:
Passo 3
Agora, precisamos relacionar a constante de erro de velocidade
com a função de transferência do sistema. A constante de erro de velocidade é definida como:
Substituindo
:
Queremos que
, então:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 4
Agora, vamos considerar o fator de amortecimento
. Para um sistema de segunda ordem da forma:
Onde
é a frequência natural e
é o fator de amortecimento.
Comparando com a nossa função de transferência em malha fechada:
Podemos identificar:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo na primeira equação:
Dado que
:
Passo 6
Agora, temos duas equações:
-
(da constante de erro) -
(do fator de amortecimento)
Vamos substituir a equação (1) na equação (2):
Primeiro, expressamos
:
Substituindo na equação (2):
Passo 7
Vamos resolver a equação:
Isso nos dá duas soluções:
ou
. Como
não faz sentido no contexto do sistema, temos:
Substituindo na equação (1):
Resposta
Os valores que satisfazem as condições são: