Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
e) lim n infty(n+2n+1)^n

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Estamos trabalhando com limites de sequências envolvendo potências, e para resolver isso, vamos usar o limite fundamental exponencial: .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Observe que:
n+2n+1 = 1 + 1n+1
Então, podemos reescrever o limite assim:
lim n infty(1 + 1n+1)^n

Passo 3

Agora, para relacionar com o limite fundamental, queremos a expressão na forma (1 + 1n+1)^n = [(1 + 1n+1)^n+1]^nn+1 . Para isso, ajustamos o expoente:

Passo 4

Sabemos que lim n infty nn+1 = 1 pelo limite fundamental. Agora, vamos analisar o expoente [(1 + 1n+1)^n+1]^nn+1 approx e^1 = e :
Isso significa que:

Resposta

Portanto, .

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