integral 4 x^10-2 x^4+15 x^2x^3 dx (Resp: 12 x^8-x^2+15 ln |x|+C)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de integração! A gente tem que calcular a integral de uma fração que envolve polinômios. Isso tá ligado à matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos precisar saber como simplificar expressões algébricas e aplicar regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A integral é:
integral 4x^10 - 2x^4 + 15x^2x^3 , dx
Para facilitar, vamos dividir cada termo do numerador por 4x^10x^3 - 2x^4x^3 + 15x^2x^3 = 4x^7 - 2x^1 + 15x^-1 :
integral (4x^7 - 2x + 15x^-1) , dx
Então, a integral fica mais simples assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração que vamos usar é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1)
E também sabemos que:
integral 1x , dx = ln |x| + C
Vamos aplicar isso a cada termo da nossa integral.

Passo 4

Integrando cada termo:
  1. Primeiro termo: integral 4x^7 , dx = 4 cdot x^88 = 12x^8
integral -2x , dx = -2 cdot x^22 = -x^2
  1. Segundo termo: integral 15x^-1 , dx = 15 ln |x|
  1. Terceiro termo:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
12x^8 - x^2 + 15 ln |x| + C
Onde é a constante de integração.

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