Determine as derivadas das seguintes funções:
g(x)=integral-4^x e^2 t cos ^2(1-5 t) dt (Resp: g^prime(x)=e^2 x cos ^2(1-5 x))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a derivada da função . O conteúdo envolve o Cálculo de Derivadas e, mais especificamente, o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral com limite variável.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema Fundamental do Cálculo, que é essencial para esse tipo de problema. Esse teorema nos diz que se temos uma função definida por uma integral como G'(x) = f(x) , então a derivada dessa função em relação a é simplesmente a função integranda avaliada em , ou seja:

Passo 3

Aplicando o teorema à nossa função g'(x) = e^2x cos^2(1-5x) , identificamos que a parte que está sendo integrada é . Segundo o teorema, para encontrar a derivada , basta substituir por na função . Portanto:

Resposta

g'(x) = e^2x cos^2(1-5x)

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