Determinar a única função
tal que:
e tal que
.
(Resp:
).
(Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função
cuja derivada é
e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de antiderivada, ou seja, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar a função original.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar cada termo da derivada separadamente. A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada nos dá a função original. Então, vamos achar:
Passo 3
Vamos integrar termo por termo:
-
Integrando
: Aqui, usamos a regra da potência, onde. -
Integrando
: A integral de uma constanteé . -
Integrando
: Sabemos que. -
Integrando
: A integral deé ela mesma, então simplesmente multiplicamos pelo coeficiente.
Passo 4
Juntando todas as integrais, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial
.
Passo 5
Vamos substituir
na função para encontrar
:
Simplificando:
Resposta
A função desejada é:
Exercícios relacionados
Calcular a integral
, onde
é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo
os eixos coordenados.
Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial
, calcular os seguintes limites:
e)
e)
Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp: