Determinar a única função tal que: e tal que .
(Resp: ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a função cuja derivada é e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar o conceito de antiderivada, ou seja, vamos integrar a expressão da derivada para encontrar a função original.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar cada termo da derivada separadamente. A antiderivada de uma função é uma função cuja derivada nos dá a função original. Então, vamos achar:

Passo 3

Vamos integrar termo por termo:
  1. Integrando :
    Aqui, usamos a regra da potência, onde .
  2. Integrando :
    A integral de uma constante é .
  3. Integrando :
    Sabemos que .
  4. Integrando :
    A integral de é ela mesma, então simplesmente multiplicamos pelo coeficiente.

Passo 4

Juntando todas as integrais, temos:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição inicial .

Passo 5

Vamos substituir na função para encontrar :
Simplificando:

Resposta

A função desejada é:

Exercícios relacionados

(Resp:
Calcular a integral , onde é a região no primeiro quadrante limitado pelo círculo os eixos coordenados.
Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial , calcular os seguintes limites:
e)
Determine as derivadas das seguintes funções:
(Resp: