Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
b) lim n infty n sen 4n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites, mais especificamente envolvendo funções trigonométricas e limites no infinito. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que sabemos que .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no que temos: . Queremos relacionar isso com o limite fundamental que conhecemos. Para isso, vamos reescrever a expressão de uma forma que fique mais parecida com .

Passo 3

Vamos chamar a fração dentro do seno de , ou seja, . Assim, quando vai para o infinito, vai para zero, o que é bom porque nosso limite fundamental lida com tendendo a zero.

Passo 4

Expressando n cdot sin(4n) = 4x cdot sin(x) em termos de , temos . Agora, substituímos isso na expressão original:

Passo 5

Agora temos 4 cdot sin(x)x . Podemos separar o 4 e reescrever isso como:

Passo 6

Agora, nosso limite fica:
limx 0 4 cdot sin(x)x
Dado que , podemos substituir esse valor.

Passo 7

Portanto:
limx 0 4 cdot sin(x)x = 4 cdot 1 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

Exercícios relacionados

Considere a função f(t) = (t, 2t).
(a) Determine f(0) e f(1).
(b) Desenhe a curva que a função descreve em R^2, isto é, a imagem de f.
Assumindo conhecido o limite fundamental exponencial lim n infty(1+1n)^n=e, calcular os seguintes limites:
c) lim n infty(1+4n)^n
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
e) lim n infty n tg 2n
Desenhe as seguintes curvas:
(a) f(t)= cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(b) f(t) = e^(-t) cost, e^(-t) sent ) com t ≥ 0.
© f(t) = 2 cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(d) f(t) = (1, t).
(e) f(t) = (t, t + 1).
(f) f(t) = (2t - t, t + 2).
(g) f(t) = (t, t^3).
(h) f(t) = (t, t, t).
(i) f(t)= cost, sent, 1 ).
(j) f(t)= cost , sent, bt) com t ≥ 0 e b em R uma constante positiva arbitrária.
(k) f(t) = (t, t, 1 + ) sent ) com t ≥ 0.
(l) f(t)= sent, cost, 2 ).
(m) f(t) = (e^(-t) cos(t), e^(-t)) sent, e^(-t).