Considere a função f(t) = (t, 2t).
(a) Determine f(0) e f(1).
(b) Desenhe a curva que a função descreve em R^2, isto é, a imagem de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função . O conteúdo aqui envolve funções vetoriais e conceitos básicos de geometria no plano. Vamos precisar entender como calcular os valores da função para certos valores de e também como representar graficamente essa função no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Isso significa substituir por 0 na função .
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituímos por 1 na função.
Portanto, .

Passo 4

Agora que temos e , vamos para a segunda parte do exercício: desenhar a curva que a função descreve em .
A função nos dá um conjunto de pontos no plano onde cada ponto é formado por um valor de e . Isso significa que para cada valor de , o segundo componente é o dobro do primeiro.

Passo 5

Para desenhar a curva, podemos pensar em como os pontos se comportam conforme varia. Se plotarmos vários valores de , como , teremos os pontos:
Esses pontos estão todos alinhados em uma linha reta que passa pela origem e tem inclinação 2, já que para cada aumento de 1 em , o valor de aumenta 2.

Passo 6

A equação dessa linha pode ser representada por , onde é o primeiro componente e é o segundo componente da função . Isso confirma que a curva descrita pela função é uma linha reta.

Resposta

(a) e .
(b) A curva descrita pela função em é uma linha reta com equação .

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