Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão
. A matéria que vamos usar aqui envolve limites e trigonometria, especialmente a relação fundamental . Vamos precisar entender como a tangente se comporta quando seu ângulo fica bem pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com
quando
cresce sem parar. Conforme
vai para o infinito,
se aproxima de 0. Então, nosso limite fica do tipo
se fizermos a substituição
.
Passo 3
Sabemos que . Vamos reescrever a expressão original usando isso:
Passo 4
Agora, substituímos
. Assim, nossa expressão fica:
Porque
implica que
.
Passo 5
Vamos calcular o limite separadamente. Sabemos que:
E também que:
Então, substituindo esses limites na expressão:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites:
b)
b)
Considere a função
.
(a) Determine e
.
(b) Desenhe a curva que a função descreve em , isto é, a imagem de
.
(a) Determine
(b) Desenhe a curva que a função descreve em
Desenhe as seguintes curvas:
(a) cost, sent
com
.
(b) cost,
sent
com
.
© cost, sent
com
.
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) .
(i) cost, sent, 1
.
(j) cost , sent, bt) com
e
uma constante positiva arbitrária.
(k) sent
com
.
(l) sent, cost, 2
.
(m) sent,
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico
, calcular os seguintes limites: a)