Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
e) lim n infty n tg 2n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . A matéria que vamos usar aqui envolve limites e trigonometria, especialmente a relação fundamental . Vamos precisar entender como a tangente se comporta quando seu ângulo fica bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com quando cresce sem parar. Conforme vai para o infinito, se aproxima de 0. Então, nosso limite fica do tipo se fizermos a substituição .

Passo 3

Sabemos que . Vamos reescrever a expressão original usando isso:

Passo 4

Agora, substituímos n cdot sen xcos x = sen xx cdot 2cos x . Assim, nossa expressão fica:
Porque implica que .

Passo 5

Vamos calcular o limite separadamente. Sabemos que:
E também que:
limx 0 sen xx = 1
Então, substituindo esses limites na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
b) lim n infty n sen 4n
Considere a função f(t) = (t, 2t).
(a) Determine f(0) e f(1).
(b) Desenhe a curva que a função descreve em R^2, isto é, a imagem de f.
Desenhe as seguintes curvas:
(a) f(t)= cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(b) f(t) = e^(-t) cost, e^(-t) sent ) com t ≥ 0.
© f(t) = 2 cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(d) f(t) = (1, t).
(e) f(t) = (t, t + 1).
(f) f(t) = (2t - t, t + 2).
(g) f(t) = (t, t^3).
(h) f(t) = (t, t, t).
(i) f(t)= cost, sent, 1 ).
(j) f(t)= cost , sent, bt) com t ≥ 0 e b em R uma constante positiva arbitrária.
(k) f(t) = (t, t, 1 + ) sent ) com t ≥ 0.
(l) f(t)= sent, cost, 2 ).
(m) f(t) = (e^(-t) cos(t), e^(-t)) sent, e^(-t).
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites: a) lim n infty n sen 1n