Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
g) ) lim n infty tg(5n)tg(2n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim n infty tan(5n)tan(2n)
Estamos lidando com limites envolvendo funções trigonométricas, especificamente a tangente. Para resolver isso, vamos usar o limite fundamental trigonométrico que diz que:
lim x 0 sin xx = 1
Esse limite nos ajuda a simplificar expressões trigonométricas quando o ângulo está muito pequeno, como é o caso aqui com tendendo ao infinito e , tendendo a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
tan x = sin xcos x
Então, podemos reescrever nosso limite da seguinte maneira:
lim n infty sin(5n)cos(5n)sin(2n)cos(2n) = lim n infty sin(5n)sin(2n) cdot cos(2n)cos(5n)

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte desse produto separadamente. Sabemos que quando sin(5n)5n approx 1 e sin(2n)2n approx 1 tende ao infinito, sin(5n)sin(2n) approx 5n2n = 52 e cos(2n)cos(5n) approx 11 = 1 tendem a zero. Então podemos usar o limite fundamental trigonométrico.
Para a parte dos senos:
Isso nos dá:
Para a parte dos cossenos, sabemos que quando está perto de zero. Então:

Passo 4

Multiplicando as duas partes que simplificamos:
52 cdot 1 = 52

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites: a) lim n infty n sen 1n
Desenhe as seguintes curvas:
(a) f(t)= cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(b) f(t) = e^(-t) cost, e^(-t) sent ) com t ≥ 0.
© f(t) = 2 cost, sent ) com t in [0, 2 pi].
(d) f(t) = (1, t).
(e) f(t) = (t, t + 1).
(f) f(t) = (2t - t, t + 2).
(g) f(t) = (t, t^3).
(h) f(t) = (t, t, t).
(i) f(t)= cost, sent, 1 ).
(j) f(t)= cost , sent, bt) com t ≥ 0 e b em R uma constante positiva arbitrária.
(k) f(t) = (t, t, 1 + ) sent ) com t ≥ 0.
(l) f(t)= sent, cost, 2 ).
(m) f(t) = (e^(-t) cos(t), e^(-t)) sent, e^(-t).
Assumindo conhecido o limite fundamental trigonométrico lim x 0 sen xx=1, calcular os seguintes limites:
d) lim n infty n(cos 1n-1)
Responda os itens a seguir:
(a) Parametrize a trajetória de uma partícula que se move em linha reta partindo do ponto 0,1 com velocidade constante dada pelo vetor 1,1.
(b) Qual a trajetória da partícula se, agora, a sua velocidade é dada pelo vetor (2, 2).
© As duas equações encontradas acima, representam o mesmo movimento? A função y = f(x) que representa a equação cartesiana da trajetória da partícula é igual nos dois casos acima?