Assumindo que f(x) tem uma expansão em série, encontre a série de Maclaurin para os seguintes casos:
f(x) = sinh(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função . Isso envolve expandir a função em uma série de potências centrada em zero. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e as propriedades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin para uma função é uma expansão em série de potências centrada em , dada por:
Ou, de forma geral:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em zero.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas de :
E assim por diante, observando que as derivadas de e se alternam.

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
E isso continua com os termos ímpares sendo 1 e os pares sendo 0.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Observamos que apenas os termos com potências ímpares de aparecem.

Passo 6

De forma geral, a série de Maclaurin para fica:
Isso significa que somamos todas as potências ímpares de divididas pelo fatorial do expoente correspondente.

Resposta

A série de Maclaurin para é:

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