Assumindo que tem uma expansão em série, encontre a série de Maclaurin para os seguintes casos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função . Isso envolve expandir a função em uma série de potências centrada em zero. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e as propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin para uma função é uma expansão em série de potências centrada em , dada por:
Ou, de forma geral:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em zero.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de :
E assim por diante, observando que as derivadas de e se alternam.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em :
E isso continua com os termos ímpares sendo 1 e os pares sendo 0.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Observamos que apenas os termos com potências ímpares de aparecem.
Passo 6
De forma geral, a série de Maclaurin para fica:
Isso significa que somamos todas as potências ímpares de divididas pelo fatorial do expoente correspondente.