Assumindo que
tem uma expansão em série, encontre a série de Maclaurin para os seguintes casos:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a série de Maclaurin para a função
. Isso envolve expandir a função em uma série de potências centrada em zero. Para resolver isso, vamos usar a definição da série de Maclaurin e as propriedades das funções hiperbólicas.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a série de Maclaurin. A série de Maclaurin para uma função
é uma expansão em série de potências centrada em
, dada por:
Ou, de forma geral:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em zero.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas de
:
E assim por diante, observando que as derivadas de
e
se alternam.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
E isso continua com os termos ímpares sendo 1 e os pares sendo 0.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Maclaurin, temos:
Observamos que apenas os termos com potências ímpares de
aparecem.
Passo 6
De forma geral, a série de Maclaurin para
fica:
Isso significa que somamos todas as potências ímpares de
divididas pelo fatorial do expoente correspondente.
Resposta
A série de Maclaurin para
é: