Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(d) x y'' - (x + N) y' + N y = 0 N inteiro nãonegativo y1 = e^x. Se y2 é uma segunda solução, calcule y2 para N=1, N=2 e N=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde é um número inteiro não negativo. Já sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução diferente de para os casos onde , e . Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma padrão que facilita a aplicação do método de redução de ordem. Dividindo toda a equação por , temos:
Aqui, podemos identificar os coeficientes e .

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da redução de ordem para encontrar . A fórmula é:
Substituindo e na fórmula, temos:
Vamos calcular a integral no expoente.

Passo 4

Calculando a integral :
Portanto:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral . Essa é uma integral conhecida que envolve a função gamma, mas para nossos propósitos, vamos resolver para valores específicos de .

Passo 6

Vamos calcular para cada valor de :

Para :

A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:

Para :

A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:

Para :

A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:

Resposta

As segundas soluções distintas para os valores de são:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados

Assumindo que f(x) tem uma expansão em série, encontre a série de Maclaurin para os seguintes casos:
f(x) = sinh(x)
Encontre a solução de cada PVI
(a) 2y'' - 3y' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1/2
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente: sumn=2^infty(-2 nn+1)^5 n
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. u = x * y * arcsen(y * z)