Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(d)
inteiro nãonegativo
. Se
é uma segunda solução, calcule
para
e
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde
é um número inteiro não negativo. Já sabemos que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução
diferente de
para os casos onde
,
e
. Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma padrão que facilita a aplicação do método de redução de ordem. Dividindo toda a equação por
, temos:
Aqui, podemos identificar os coeficientes
e
.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da redução de ordem para encontrar
. A fórmula é:
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Vamos calcular a integral no expoente.
Passo 4
Calculando a integral
:
Portanto:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral
. Essa é uma integral conhecida que envolve a função gamma, mas para nossos propósitos, vamos resolver para valores específicos de
.
Passo 6
Vamos calcular
para cada valor de
:
Para
:
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Para
:
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Para
:
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Resposta
As segundas soluções distintas
para os valores de
são:
- Para
: - Para
: - Para
: