Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
(d) inteiro nãonegativo . Se é uma segunda solução, calcule para e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
onde é um número inteiro não negativo. Já sabemos que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar uma segunda solução diferente de para os casos onde , e . Para isso, vamos usar o método de redução de ordem, que é uma técnica que nos ajuda a encontrar uma segunda solução quando já conhecemos uma solução da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial em uma forma padrão que facilita a aplicação do método de redução de ordem. Dividindo toda a equação por , temos:
Aqui, podemos identificar os coeficientes e .
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da redução de ordem para encontrar . A fórmula é:
Substituindo e na fórmula, temos:
Vamos calcular a integral no expoente.
Passo 4
Calculando a integral :
Portanto:
Substituindo de volta na expressão de :
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral . Essa é uma integral conhecida que envolve a função gamma, mas para nossos propósitos, vamos resolver para valores específicos de .
Passo 6
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Para :
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Para :
A integral fica:
Desconsiderando a constante de integração e substituindo de volta:
Então, a segunda solução é:
Resposta
As segundas soluções distintas para os valores de são: