Encontre a solução de cada PVI
(a) 2y'' - 3y' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

Passo 3

Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica. Isso mesmo, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos por e obtemos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Assim, temos duas soluções para :

Passo 6

Com esses valores de , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e . As condições dadas são:

Passo 8

Primeiro, aplicamos :
Essa é a primeira equação.

Passo 9

Agora, derivamos para encontrar :
Aplicamos :
Essa é a segunda equação.

Passo 10

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 11

Subtraindo a segunda equação da primeira:

Passo 12

Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do PVI é:

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