Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da equação e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Passo 3
Para resolver, a gente começa encontrando a equação característica. Isso mesmo, vamos transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Substituímos por e obtemos:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Assim, temos duas soluções para :
Passo 6
Com esses valores de , a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo e :
Passo 7
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar as constantes e . As condições dadas são: